A B. 4270. feladat (2010. április)

B. 4270. Legyen ABCDEF egy körbe írt hatszög. Bizonyítsuk be, hogy

AD^.BE^.CF=AB^.DE^.CF+BC^.EF^.AD+CD^.FA^.BE+

+AB^.CD^.EF+BC^.DE^.FA.

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle ABDE\) húrnégyszögre a Ptolemaiosz-tételt felírva kapjuk, hogy

\(\displaystyle AD\cdot BE=AB\cdot DE+AE\cdot BD.\)

Az egyenlőség mindkét oldalát \(\displaystyle CF\)-fel megszorozva

\(\displaystyle AD\cdot BE\cdot CF = AB\cdot DE\cdot CF+AE\cdot BD\cdot CF\)

adódik, tehát elegendő az

\(\displaystyle AE\cdot BD\cdot CF=BC\cdot EF\cdot AD+ CD\cdot FA\cdot BE + AB\cdot CD\cdot EF+ BC\cdot DE\cdot FA\)

összefüggést igazolni. A \(\displaystyle BCDF\) húrnégyszögben hasonlóképpen

\(\displaystyle BD\cdot CF=BC\cdot DF+BF\cdot CD,\)

tehát

\(\displaystyle AE\cdot BD\cdot CF=AE\cdot BC\cdot DF+AE\cdot BF\cdot CD.\)

Itt viszont az \(\displaystyle ADEF\) és az \(\displaystyle ABEF\) húrnégyszögekből kiindulva

\(\displaystyle AE\cdot BC\cdot DF=BC\cdot(AD\cdot EF+DE\cdot FA),\)

illetve

\(\displaystyle AE\cdot BF\cdot CD=CD\cdot(AB\cdot EF+BE\cdot FA),\)

ahonnan az állítás már közvetlenül leolvasható.

Statisztika:

35 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Lilla, Bogár Blanka, Cséke Balázs, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Hegedűs Csaba, Janzer Olivér, Jernei Tamás, Karkus Zsuzsa, Keresztfalvi Tibor, Kovács 444 Áron, Márkus Bence, Máthé László, Mester Márton, Mészáros András, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Nánási József, Pálfi Bence, Perjési Gábor, Popper Dávid, Remete László, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tóth 222 Barnabás, Zelena Réka.
4 pontot kapott:	Weisz Ágoston.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2010. áprilisi matematika feladatai