A B. 4274. feladat (2010. május)

B. 4274. Egy egységnyi területű paralelogramma oldalainak hossza a és b, ahol a<b<2a. Mekkora a paralelogramma belső szögfelezői által határolt négyszög területe?

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a paralelogramma szomszédos szögeinek összege \(\displaystyle 180^\circ\), szomszédos csúcsokból induló szögfelezők merőlegesek egymásra. A feltételek alapján az alábbi ábrát készíthetjük, ahol a paralelogramma oldalai \(\displaystyle AD=BC=a\), \(\displaystyle AB=DC=b\).

Az \(\displaystyle AFX\), \(\displaystyle ADX\), \(\displaystyle CBW\) és \(\displaystyle CHW\) háromszögek egybevágó derékszögű háromszögek, ezért \(\displaystyle AF=BE=CH=DG=a\), \(\displaystyle AE=FB=CG=HD=b-a\). Az \(\displaystyle AXF\) és \(\displaystyle EYF\) háromszögek hasonlóságából

\(\displaystyle \frac{XY}{XF}=\frac{AE}{AF}=\frac{b-a}{a},\qquad \frac{XY}{DF}=\frac{b-a}{2a}.\)

Ezek alapján az \(\displaystyle XYWZ\) téglalap területe

\(\displaystyle t_{XYWZ}=\frac{t_{XYWZ}}{t_{DFBH}}\cdot\frac{t_{DFBH}}{t_{ABCD}}= \frac{XY}{DF}\cdot\frac{FB}{AB}=\frac{b-a}{2a}\cdot\frac{b-a}{b}=\frac{(b-a)^2}{2ab}.\)

Statisztika:

52 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Árvay Balázs, Boér Lehel, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Csere Kálmán, Csizmadia Luca, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Győrfi 946 Mónika, Hegedűs Csaba, Hosszejni Darjus, Janzer Olivér, Jernei Tamás, Karkus Zsuzsa, Kiss 902 Melinda Flóra, Köpenczei Gergő, Lajos Mátyás, Máthé László, Medek Ákos, Nagy 111 Miklós, Repka 666 Dániel, Sagmeister Ádám, Sándor Áron Endre, Sieben Bertilla, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Szórádi Márk, Vajk Dóra, Varga Vajk, Varju 105 Tamás, Vuchetich Bálint, Weimann Richárd, Zahemszky Péter, Zelena Réka.
2 pontot kapott:	Balog Dóra, Csörgő András, Csuka Róbert, Frittmann Júlia, Nguyen Noémi, Ódor Gergely, Rábai Domonkos, Somogyi Ákos.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2010. májusi matematika feladatai