A B. 4292. feladat (2010. október)

B. 4292. Az ABC háromszög A és B csúcsából húzott belső szögfelezőkre a C csúcsból állított merőlegesek talppontjai E és F. A háromszög beírt köre az AC oldalt a D pontban érinti. Bizonyítsuk be, hogy EF=CD.

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A szögfelezők a háromszögbe írható kör \(\displaystyle O\) középpontjában metszik egymást. Az \(\displaystyle AOB\), \(\displaystyle BOC\), \(\displaystyle COA\) szögek nagysága rendre

\(\displaystyle \pi-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=\frac{\pi+\gamma}{2},\ \frac{\pi+\alpha}{2},\ \frac{\pi+\beta}{2}.\)

Ezért \(\displaystyle COE\) és \(\displaystyle COF\) szög is hegyesszög, továbbá

\(\displaystyle EOF\sphericalangle=AOB\sphericalangle=\frac{\pi+\gamma}{2}\)

és

\(\displaystyle COD\sphericalangle=\frac{\pi-\gamma}{2}=\pi-EOF\sphericalangle=ECF\sphericalangle.\)

Mivel a \(\displaystyle CDO, CEO\) és \(\displaystyle CFO\) szög is derékszög, a \(\displaystyle D,E,F\) pontok a \(\displaystyle CO\) átmérőjű körön helyezkednek el. Ebben a körben a \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle EF\) húrhoz egyaránt \(\displaystyle \frac{\pi-\gamma}{2}\) nagyságú kerületi szög tartozik, vagyis a két húr valóban ugyanolyan hosszú.

Statisztika:

90 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	60 versenyző.
2 pontot kapott:	22 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai