 |
A B. 4294. feladat (2010. október) |
B. 4294. Egy szabályos 10-szög alapú egyenes hasábnak legfeljebb hány élét metszheti egy sík?
(3 pont)
A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Először megmutatjuk, hogy egyetlen sík sem metszheti a hasábnak több, mint 12 élét. Mind az alaplapnak, mind a fedőlapnak nulla vagy két élét metszheti a sík. Ha valamelyiket nem metszi, akkor az állítás nyilvánvaló, hiszen a hasábnak összesen 10 darab oldaléle van. Ha mindkettőt metszi, akkor vetítsük le a hasábot és a metsző síkot is egy olyan \(\displaystyle S\) síkra, amely egyaránt merőleges a hasáb alaplapjára és a metsző síkra is. A hasáb vetülete egy téglalap lesz, a metsző sík vetülete pedig egy olyan egyenes, amely a téglalapnak azt a két, egymással párhuzamos oldalát metszi, melyek az alap-, illetve fedőlap vetületeként keletkeznek. A téglalap másik két oldala egy-egy oldalél vetülete; ezeket az oldaléleket a sík nem metszi. Ha tehát egy sík az alap- és a fedőlapnak is két élét metszi, akkor legfeljebb 8 oldalélet metszhet.
Ennek a gondolatnak a segítségével könnyű példát mutatni olyan síkra, amely a hasábnak pontosan 12 élét metszi. Legyen az alaplap az \(\displaystyle A_1A_2\ldots A_{10}\), a fedőlap pedig a \(\displaystyle B_1B_2\ldots B_{10}\) sokszög, ahol a hasáb oldalélei az \(\displaystyle A_1B_1,\ldots,A_{10}B_{10}\) szakaszok. Vetítsük le a hasábot az \(\displaystyle A_1A_2B_2B_1\) lap \(\displaystyle S\) síkjára, az \(\displaystyle A_i, B_i\) csúcsok vetületét jelölje \(\displaystyle A_i', B_i'\). Ekkor a vetület az \(\displaystyle A_9'A_4'B_4'B_9'\) téglalap. Tekintsük azt az egyenest, amelyik áthalad az \(\displaystyle A_9'A_{10}'\) és a \(\displaystyle B_3'B_4'\) szakaszok felezőpontján. Ha ezen az egyenesen át az \(\displaystyle S\) síkra merőleges síkot állítunk, az metszeni fogja az alaplapnak \(\displaystyle A_9\)-ből, a fedőlapnak pedig a \(\displaystyle B_4\)-ből induló éleit, valamint az összes oldalélet is az \(\displaystyle A_9B_9\), \(\displaystyle A_4B_4\) élek kivételével.
Statisztika:
153 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 85 versenyző. 2 pontot kapott: 49 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai