 |
A B. 4294. feladat (2010. október) |
B. 4294. Egy szabályos 10-szög alapú egyenes hasábnak legfeljebb hány élét metszheti egy sík?
(3 pont)
A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Először megmutatjuk, hogy egyetlen sík sem metszheti a hasábnak több, mint 12 élét. Mind az alaplapnak, mind a fedőlapnak nulla vagy két élét metszheti a sík. Ha valamelyiket nem metszi, akkor az állítás nyilvánvaló, hiszen a hasábnak összesen 10 darab oldaléle van. Ha mindkettőt metszi, akkor vetítsük le a hasábot és a metsző síkot is egy olyan S síkra, amely egyaránt merőleges a hasáb alaplapjára és a metsző síkra is. A hasáb vetülete egy téglalap lesz, a metsző sík vetülete pedig egy olyan egyenes, amely a téglalapnak azt a két, egymással párhuzamos oldalát metszi, melyek az alap-, illetve fedőlap vetületeként keletkeznek. A téglalap másik két oldala egy-egy oldalél vetülete; ezeket az oldaléleket a sík nem metszi. Ha tehát egy sík az alap- és a fedőlapnak is két élét metszi, akkor legfeljebb 8 oldalélet metszhet.
Ennek a gondolatnak a segítségével könnyű példát mutatni olyan síkra, amely a hasábnak pontosan 12 élét metszi. Legyen az alaplap az A1A2…A10, a fedőlap pedig a B1B2…B10 sokszög, ahol a hasáb oldalélei az A1B1,…,A10B10 szakaszok. Vetítsük le a hasábot az A1A2B2B1 lap S síkjára, az Ai,Bi csúcsok vetületét jelölje A′i,B′i. Ekkor a vetület az A′9A′4B′4B′9 téglalap. Tekintsük azt az egyenest, amelyik áthalad az A′9A′10 és a B′3B′4 szakaszok felezőpontján. Ha ezen az egyenesen át az S síkra merőleges síkot állítunk, az metszeni fogja az alaplapnak A9-ből, a fedőlapnak pedig a B4-ből induló éleit, valamint az összes oldalélet is az A9B9, A4B4 élek kivételével.
Statisztika:
153 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 85 versenyző. 2 pontot kapott: 49 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai
|
|