A B. 4296. feladat (2010. október)

B. 4296. Egy háromszög a, b oldalához tartozó magasságvonalak hossza legyen m_a, illetve m_b. Mutassuk meg, hogy ha a>b, akkor

a²⁰¹⁰+m_a²⁰¹⁰b²⁰¹⁰+m_b²⁰¹⁰.

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Nyilván \(\displaystyle a\ge m_b\) és \(\displaystyle b\ge m_a\), ahol egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) oldalak egymásra merőlegesek. Ezen kívül \(\displaystyle am_a=bm_b=2t\), ahol \(\displaystyle t\) a háromszög területe. Legyen \(\displaystyle a^{2010}=x_a\), \(\displaystyle b^{2010}=x_b\), \(\displaystyle m_a^{2010}=y_a\), \(\displaystyle m_b^{2010}=y_b\); ekkor a fentiek szerint \(\displaystyle x_a>x_b\ge y_a\), valamint \(\displaystyle x_ay_a=x_by_b=c=(2t)^{2010}\). A bizonyítandó

\(\displaystyle x_a+\frac{c}{x_a}\ge x_b+\frac{c}{x_b}\)

egyenlőtlenség ekvivalens az

\(\displaystyle x_a^2x_b+cx_b\ge x_b^2x_a+cx_a\)

egyenlőtlenséggel, amit \(\displaystyle (x_a-x_b)(x_ax_b-c)\ge 0\) alakra hozhatunk. Itt az első tényező pozitív, a második tényező pedig \(\displaystyle x_ax_b\ge x_ay_a=c\) miatt nemnegatív. Ezzel az állítást bebizonyítottuk, egyenlőség pedig pontosan akkor áll fenn, ha \(\displaystyle x_b=y_a\), vagyis ha az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) oldalak egymásra merőlegesek.

Statisztika:

121 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	89 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai