A B. 4296. feladat (2010. október)

B. 4296. Egy háromszög a, b oldalához tartozó magasságvonalak hossza legyen m_a, illetve m_b. Mutassuk meg, hogy ha a>b, akkor

a²⁰¹⁰+m_a²⁰¹⁰b²⁰¹⁰+m_b²⁰¹⁰.

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Nyilván $\displaystyle a\ge m_b$ és $\displaystyle b\ge m_a$, ahol egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha az $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ oldalak egymásra merőlegesek. Ezen kívül $\displaystyle am_a=bm_b=2t$, ahol $\displaystyle t$ a háromszög területe. Legyen $\displaystyle a^{2010}=x_a$, $\displaystyle b^{2010}=x_b$, $\displaystyle m_a^{2010}=y_a$, $\displaystyle m_b^{2010}=y_b$; ekkor a fentiek szerint $\displaystyle x_a>x_b\ge y_a$, valamint $\displaystyle x_ay_a=x_by_b=c=(2t)^{2010}$. A bizonyítandó

$\displaystyle x_a+\frac{c}{x_a}\ge x_b+\frac{c}{x_b}$

egyenlőtlenség ekvivalens az

$\displaystyle x_a^2x_b+cx_b\ge x_b^2x_a+cx_a$

egyenlőtlenséggel, amit $\displaystyle (x_a-x_b)(x_ax_b-c)\ge 0$ alakra hozhatunk. Itt az első tényező pozitív, a második tényező pedig $\displaystyle x_ax_b\ge x_ay_a=c$ miatt nemnegatív. Ezzel az állítást bebizonyítottuk, egyenlőség pedig pontosan akkor áll fenn, ha $\displaystyle x_b=y_a$, vagyis ha az $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ oldalak egymásra merőlegesek.

Statisztika:

121 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	89 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai