A B. 4299. feladat (2010. október)

B. 4299. Az ABC háromszögbe írt CDEF paralelogramma D, E, F csúcsa rendre a CA, AB és BC oldalon van. Szerkesszük meg a DF szakasz hosszának ismeretében az E pontot. Melyik E pontra lesz a DF átló hossza minimális?

dr. Katz Sándor (Bonyhád)

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle AB,BC,CA$ oldalak felezőpontját jelölje rendre $\displaystyle X,Y,Z$, az $\displaystyle EF$ szakasz felezőpontját pedig $\displaystyle H$. Mivel $\displaystyle H$ egyben a $\displaystyle CD$ szakasz felezőpontja is, a $\displaystyle H$ pont illeszkedik a háromszög $\displaystyle YZ$ középvonalára. Ha az $\displaystyle EF$ szakasz egybeesik az $\displaystyle YZ$ szakasszal, akkor $\displaystyle D=X$. Tegyük fel, hogy $\displaystyle E$ az $\displaystyle YC$, $\displaystyle F$ pedig az $\displaystyle AZ$ szakasz belső pontja. Az $\displaystyle F$ pont $\displaystyle Z$-re vonatkozó tükörképe legyen $\displaystyle F'$, az $\displaystyle EF'$ szakasz felezőpontja pedig $\displaystyle H'$. Ekkor $\displaystyle HZ$, $\displaystyle ZH'$ és $\displaystyle HH'$ az $\displaystyle EFF'$ háromszög középvonalai.

A $\displaystyle ZHH'$ háromszöget $\displaystyle C$-ből kétszeresére nagyítva azt az $\displaystyle ADG$ háromszöget kapjuk, amelynek $\displaystyle G$ csúcsa a $\displaystyle CX$ szakasz belső pontja és $\displaystyle \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{FE}$. Megfordítva, ha $\displaystyle G$ a $\displaystyle CX$ szakasz olyan pontja, amelyre $\displaystyle AG=EF$, akkor ehhez egyértelműen tartozik egy megfelelő $\displaystyle DECF$ paralelogramma.

Ezek alapján a szerkesztés a következőképpen végezhető el. Az $\displaystyle A$ csúcs, mint középpont köré $\displaystyle EF$ sugarú kört rajzolunk, ez a $\displaystyle CX$ egyenest 0, 1 vagy 2 pontban metszi. Nyilván ugyanezeket a metszéspontokat kapjuk akkor is, ha a $\displaystyle B$ csúcsot választjuk középpontnak. Válasszuk ki ezek közül azokat a $\displaystyle G$ pontokat, amelyek a $\displaystyle CX$ szakaszra esnek, de nem esnek egybe $\displaystyle C$-vel. Ha $\displaystyle AG=EF$, akkor a $\displaystyle G$-n keresztül $\displaystyle AC$-vel párhuzamosan húzott egyenes metszi ki az $\displaystyle AB$ szakaszból a $\displaystyle D$ pontot, ha pedig $\displaystyle BG=EF$, akkor a $\displaystyle G$-n keresztül $\displaystyle BC$-vel párhuzamosan húzott egyenes metszi ki az $\displaystyle AB$ szakaszból a $\displaystyle D$ pontot.

Az $\displaystyle EF$ átló hossza nyilván akkor minimális, ha $\displaystyle G$ a lehető legközelebb esik az $\displaystyle A,B$ csúcsok valamelyikéhez, vagyis ha $\displaystyle AG$ vagy $\displaystyle BG$ merőleges $\displaystyle CX$-re. Tegyük fel, hogy $\displaystyle CA\le CB$, és legyen $\displaystyle G_0$ az $\displaystyle A$ pontból az $\displaystyle CX$ egyenesre állított merőleges talppontja. Ekkor $\displaystyle G_0$-ból $\displaystyle AC$-vel párhuzamost húzva metszhetjük ki az $\displaystyle AB$ szakaszból a keresett $\displaystyle D$ pontot.

Mindezek figyelembevételével a $\displaystyle CA\le CB$ feltevés mellett a feladat diszkussziója a következő. Ha az adott $\displaystyle EF$ távolság kisebb, mint $\displaystyle AG_0$, akkor a feladatnak nincsen megoldása. $\displaystyle EF=AG_0$ esetén pontosan egy megoldás van, ez a helyzet speciálisan az $\displaystyle AC=AB$ esetben is. Ha $\displaystyle AG_0<EF<AC$, akkor két megoldást kapunk, $\displaystyle AC\le EF< BC$ esetén megint csak egyet, $\displaystyle BC\le EF$ esetén pedig ismétcsak nem lesz megoldás.

A letölthető GeoGebra ábra Tossenberger Tamás munkája: B.4299.html

Statisztika:

30 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Damásdi Gábor, Énekes Péter, Kabos Eszter, Kiss 542 Robin, Lajos Mátyás, Medek Ákos, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Tossenberger Tamás, Varnyú József, Viharos Andor.
4 pontot kapott:	Dudás 002 Zsolt, Janzer Olivér, Lenger Dániel, Perjési Gábor, Weisz Gellért.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai