 |
A B. 4301. feladat (2010. október) |
B. 4301. Két szomszédos pozitív egész szám köbének különbsége n2, ahol n>0. Igazoljuk, hogy n két négyzetszám összege.
(8. osztályos Kalmár verseny megyei forduló, 2010)
(4 pont)
A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle n^2=(m+1)^3-m^3=3m^2+3m+1\), ahol \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) is pozitív egész szám. A másodfokú egyenletet \(\displaystyle m\)-re megoldva
\(\displaystyle m=\frac{-3+\sqrt{9-12(1-n^2)}}{6},\)
vagyis \(\displaystyle 12n^2-3=3(2n-1)(2n+1)\) négyzetszám. Minthogy \(\displaystyle 2n-1\) és \(\displaystyle 2n+1\) egymáshoz relatív prímek, ez csak úgy lehetséges, ha \(\displaystyle 2n-1=a^2\), \(\displaystyle 2n+1=3b^2\), vagy pedig \(\displaystyle 2n-1=3a^2\), \(\displaystyle 2n+1=b^2\) teljesül alkalmas \(\displaystyle a,b\) pozitív egész számokkal. A második eset nem jöhet szóba, hiszen akkor a \(\displaystyle b^2\) szám 3-mal osztva 2 maradékot adna. Ezért \(\displaystyle 2n-1=a^2\), vagyis
\(\displaystyle n=\left(\frac{a-1}{2}\right)^2+\left(\frac{a+1}{2}\right)^2.\)
Lévén \(\displaystyle a\) páratlan szám, \(\displaystyle n\) valóban két négyzetszám összege.
Statisztika:
102 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 88 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai