A B. 4301. feladat (2010. október)

B. 4301. Két szomszédos pozitív egész szám köbének különbsége n², ahol n>0. Igazoljuk, hogy n két négyzetszám összege.

(8. osztályos Kalmár verseny megyei forduló, 2010)

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy $\displaystyle n^2=(m+1)^3-m^3=3m^2+3m+1$, ahol $\displaystyle m$ és $\displaystyle n$ is pozitív egész szám. A másodfokú egyenletet $\displaystyle m$-re megoldva

$\displaystyle m=\frac{-3+\sqrt{9-12(1-n^2)}}{6},$

vagyis $\displaystyle 12n^2-3=3(2n-1)(2n+1)$ négyzetszám. Minthogy $\displaystyle 2n-1$ és $\displaystyle 2n+1$ egymáshoz relatív prímek, ez csak úgy lehetséges, ha $\displaystyle 2n-1=a^2$, $\displaystyle 2n+1=3b^2$, vagy pedig $\displaystyle 2n-1=3a^2$, $\displaystyle 2n+1=b^2$ teljesül alkalmas $\displaystyle a,b$ pozitív egész számokkal. A második eset nem jöhet szóba, hiszen akkor a $\displaystyle b^2$ szám 3-mal osztva 2 maradékot adna. Ezért $\displaystyle 2n-1=a^2$, vagyis

$\displaystyle n=\left(\frac{a-1}{2}\right)^2+\left(\frac{a+1}{2}\right)^2.$

Lévén $\displaystyle a$ páratlan szám, $\displaystyle n$ valóban két négyzetszám összege.

Statisztika:

102 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	88 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai