A B. 4303. feladat (2010. november)

B. 4303. Adott egy téglalap, ami nem négyzet. Félbehajtjuk az egyik átlója mentén. Bizonyítsuk be, hogy a kapott ötszög kerülete kisebb az eredeti téglalap kerületénél.

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle ABCD\) téglalapban \(\displaystyle AB>AD\), és a téglalapot az \(\displaystyle AC\) átlója mentén hajtjuk félbe úgy, hogy a \(\displaystyle B\) pont az \(\displaystyle E\) pontba kerül. Az \(\displaystyle AE\) és \(\displaystyle CD\) szakaszok metszéspontja legyen \(\displaystyle F\). Legyen továbbá \(\displaystyle G\) az \(\displaystyle AB\) oldal azon pontja, amelyre \(\displaystyle AF=AG\). Mivel \(\displaystyle BC=CE\) és \(\displaystyle GB=FE\), a félbehajtás során a kerület csökken az \(\displaystyle AG+FC=AF+FC\) mennyiséggel, ugyanakkor növekszik az \(\displaystyle AC\) mennyiséggel. A háromszög-egyenlőtlenség miatt \(\displaystyle AC<AF+FC\), ezért a kerület összességében csökken.

Statisztika:

231 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	114 versenyző.
2 pontot kapott:	69 versenyző.
1 pontot kapott:	21 versenyző.
0 pontot kapott:	19 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.

A KöMaL 2010. novemberi matematika feladatai