A B. 4303. feladat (2010. november)

B. 4303. Adott egy téglalap, ami nem négyzet. Félbehajtjuk az egyik átlója mentén. Bizonyítsuk be, hogy a kapott ötszög kerülete kisebb az eredeti téglalap kerületénél.

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy az $\displaystyle ABCD$ téglalapban $\displaystyle AB>AD$, és a téglalapot az $\displaystyle AC$ átlója mentén hajtjuk félbe úgy, hogy a $\displaystyle B$ pont az $\displaystyle E$ pontba kerül. Az $\displaystyle AE$ és $\displaystyle CD$ szakaszok metszéspontja legyen $\displaystyle F$. Legyen továbbá $\displaystyle G$ az $\displaystyle AB$ oldal azon pontja, amelyre $\displaystyle AF=AG$. Mivel $\displaystyle BC=CE$ és $\displaystyle GB=FE$, a félbehajtás során a kerület csökken az $\displaystyle AG+FC=AF+FC$ mennyiséggel, ugyanakkor növekszik az $\displaystyle AC$ mennyiséggel. A háromszög-egyenlőtlenség miatt $\displaystyle AC<AF+FC$, ezért a kerület összességében csökken.

Statisztika:

231 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	114 versenyző.
2 pontot kapott:	69 versenyző.
1 pontot kapott:	21 versenyző.
0 pontot kapott:	19 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.

A KöMaL 2010. novemberi matematika feladatai