Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4304. feladat (2010. november)

B. 4304. Van-e olyan pozitív egész k, amelyre

\big(\dots\big((4\underbrace{!)!\big)!\dots\big)!}_{k} > \big(\dots\big((3\underbrace{!)!\big)!\dots\big)!}_{k+1}

teljesül?

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Nincsen ilyen \(\displaystyle k\) szám. Legyen \(\displaystyle a_k=(\dots((3\underbrace{!)!)!\dots)!}_{k}\), \(\displaystyle b_k=(\dots((4\underbrace{!)!)!\dots)!}_{k}\). A \(\displaystyle k=1\) esetben \(\displaystyle a_2=(3!)!=6!>4!=b_1\). Ha pedig valamely \(\displaystyle k\) pozitív egészre \(\displaystyle a_{k+1}>b_k\) pozitív egészek, akkor \(\displaystyle a_{k+2}=a_{k+1}!>b_k!=b_{k+1}\) is teljesül. Így a teljes indukció elve szerint minden \(\displaystyle k\) pozitív egészre

\(\displaystyle (\dots((3\underbrace{!)!)!\dots)!}_{k+1}> (\dots((4\underbrace{!)!)!\dots)!}_{k}\ .\)

Statisztika:

209 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:176 versenyző.
2 pontot kapott:25 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:7 dolgozat.

A KöMaL 2010. novemberi matematika feladatai