A B. 4304. feladat (2010. november)

B. 4304. Van-e olyan pozitív egész k, amelyre

teljesül?

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Nincsen ilyen $\displaystyle k$ szám. Legyen $\displaystyle a_k=(\dots((3\underbrace{!)!)!\dots)!}_{k}$, $\displaystyle b_k=(\dots((4\underbrace{!)!)!\dots)!}_{k}$. A $\displaystyle k=1$ esetben $\displaystyle a_2=(3!)!=6!>4!=b_1$. Ha pedig valamely $\displaystyle k$ pozitív egészre $\displaystyle a_{k+1}>b_k$ pozitív egészek, akkor $\displaystyle a_{k+2}=a_{k+1}!>b_k!=b_{k+1}$ is teljesül. Így a teljes indukció elve szerint minden $\displaystyle k$ pozitív egészre

$\displaystyle (\dots((3\underbrace{!)!)!\dots)!}_{k+1}> (\dots((4\underbrace{!)!)!\dots)!}_{k}\ .$

Statisztika:

209 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	176 versenyző.
2 pontot kapott:	25 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2010. novemberi matematika feladatai