 |
A B. 4307. feladat (2010. november) |
B. 4307. Adott az ABC háromszög két oldalán két-két pont. Bizonyítsuk be, hogy a négy pont által alkotott négy háromszög közül legalább egynek a területe nem nagyobb az ABC háromszög területének a negyedénél.
Surányi László (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A háromszög területe legyen egységnyi, a négy pontot pedig jelölje \(\displaystyle P,Q,R,S\) az ábra szerint. Legyen továbbá \(\displaystyle CP=\alpha\cdot AC\), \(\displaystyle CR=\beta\cdot BC\), ahol \(\displaystyle 0<\alpha,\beta <1\). Ekkor \(\displaystyle PQ=\gamma\cdot AC\) és \(\displaystyle RS=\delta\cdot BC\), ahol \(\displaystyle 0<\gamma\le 1-\alpha\) és \(\displaystyle 0<\delta\le 1-\beta\).
A \(\displaystyle PQR\) háromszög területe \(\displaystyle \beta\gamma\), az \(\displaystyle RSP\) háromszögé \(\displaystyle \alpha\delta\). Elég megmutatni, hogy valamelyik nem nagyobb 1/4-nél. Ha mindkettő nagyobb lenne, mint 1/4, akkor
\(\displaystyle 1=\frac{\alpha+(1-\beta)}{2}+\frac{\beta+(1-\alpha)}{2}\ge \sqrt{\alpha(1-\beta)}+\sqrt{\beta(1-\alpha)}\ge \sqrt{\alpha\delta}+\sqrt{\beta\gamma}>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)
lenne, ami ellentmondás. Ha a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle R\) pontokat az \(\displaystyle AC\), illetve \(\displaystyle BC\) oldalak felezőpontjának választjuk, továbbá \(\displaystyle Q=A\) és \(\displaystyle S=B\), akkor látható az is, hogy a feladat állítása éles.
Statisztika:
53 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Beleznay Soma, Bogár Blanka, Bunth Gergely, Czipó Bence, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Gyarmati Máté, Győrfi 946 Mónika, Homonnay Bálint, Kabos Eszter, Karl E. Holter, Köpenczei Gergő, Lajos Mátyás, Machó Bónis, Medek Ákos, Mihálykó András, Nagy Róbert, Perjési Gábor, Peszt Anna, Schultz Vera Magdolna, Sieben Bertilla, Simig Dániel, Strenner Péter, Tatár Dániel, Tossenberger Tamás, Varnyú József, Veitz Kristóf Tamás, Viharos Andor, Weimann Richárd, Weisz Gellért, Zilahi Tamás, Zsakó András. 3 pontot kapott: Ágoston Péter, Dinev Georgi, Dudás 002 Zsolt, Kenéz Balázs, Kiss 542 Robin, Lenger Dániel, Maga Balázs, Solti Bálint, Szabó 928 Attila, Tulassay Zsolt, Vajda Balázs. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2010. novemberi matematika feladatai