 |
A B. 4308. feladat (2010. november) |
B. 4308. Adott az ABCD négyszög. Mutassuk meg, hogy az ABC, ABD, ACD és BCD háromszögek Feuerbach-köreinek van közös pontja.
Miklós Szilárd (Herceghalom)
(5 pont)
A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle XY\) szakasz felezőpontját jelölje \(\displaystyle F_{XY}\). Az \(\displaystyle XYZ\) háromszög Feuerbach-köre áthalad az \(\displaystyle F_{XY}, F_{XZ}, F_{YZ}\) pontokon. Nyilvánvaló tehát, hogy bármely két Feuerbach-körnek van közös pontja. Folytonossági meggondolás alapján, melyet nem részletezünk, elegendő lesz az állítást azokban az esetekben igazolni, amikor a hat felezőpontból semelyik négy nem illeszkedik egy körre, és semelyik két Feuerbach-kör nem érinti egymást. Szimmetria okok miatt elegendő megmutatni, hogy a \(\displaystyle DAB\), \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle BCD\) háromszögek Feuerbach-köreinek van közös pontja.
Az \(\displaystyle A,B,C,D\) pontok helyvektorait jelölje rendre \(\displaystyle a,b,c,d\), ekkor az \(\displaystyle F_{XY}\) felezőpont helyvektora \(\displaystyle (x+y)/2\). Ha az \(\displaystyle O\) pont helyvektora \(\displaystyle (a+b+c+d)/4\), akkor világos, hogy \(\displaystyle O\) éppen az \(\displaystyle F_{AB}F_{CD}\), \(\displaystyle F_{AC}F_{BD}\) és \(\displaystyle F_{AD}F_{BC}\) szakaszok közös felezőpontja. Ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle U=F_{BC}\), \(\displaystyle V=F_{BD}\) és \(\displaystyle W=F_{AB}\) pontokat \(\displaystyle O\)-ra tükrözve éppen az \(\displaystyle U'=F_{AD}\), \(\displaystyle V'=F_{AC}\), illetve a \(\displaystyle W'=F_{CD}\) pontokat kapjuk.
Célunk tehát azt megmutatni, hogy az \(\displaystyle U'VW\), \(\displaystyle UV'W\) és \(\displaystyle UVW'\) köröknek van közös pontja. A bizonyításhoz célszerű irányított szögekkel dolgozni. A kerületi és középponti szögek tételére való hivatkozással könnyen igazolható a következő állítás: Az egymástól különböző, nem egy egyenesre eső \(\displaystyle P,Q,R,S\) pontok akkor és csak akkor illeszkednek egy körre, ha modulo \(\displaystyle 180^\circ\) számolva \(\displaystyle PRQ\sphericalangle= PSQ\sphericalangle\). Ennek megfelelően a továbbiakban az egyenlőséget mindig modulo \(\displaystyle 180^\circ\) értjük majd.
Az \(\displaystyle UV'W\) és \(\displaystyle UVW'\) köröknek \(\displaystyle U\)-tól különböző metszéspontja legyen \(\displaystyle M\). Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle M\) illeszkedik az \(\displaystyle U'VW\) körre, ami ekvivalens azzal, hogy (modulo \(\displaystyle 180^\circ\) számolva) \(\displaystyle VMW\sphericalangle=VU'W\sphericalangle\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle VMU\sphericalangle= VW'U\sphericalangle\) és \(\displaystyle UMW\sphericalangle=UV'W\sphericalangle\). Ezért
\(\displaystyle VMW\sphericalangle=VMU\sphericalangle+UMW\sphericalangle= VW'U\sphericalangle+UV'W\sphericalangle= VW'U\sphericalangle+U'VW'\sphericalangle,\)
hiszen a középpontos szimmetria miatt \(\displaystyle UV'W\sphericalangle= U'VW'\sphericalangle\). Ugyanezen ok miatt a \(\displaystyle W'U\) és \(\displaystyle U'W\) félegyenesek iránya megegyezik, ahonnan \(\displaystyle U'VW'\sphericalangle= UW'V\sphericalangle+VU'W\sphericalangle\) leolvasható. összegezve,
\(\displaystyle VMW\sphericalangle=VW'U\sphericalangle+UW'V\sphericalangle+ VU'W\sphericalangle=VW'U\sphericalangle-VW'U\sphericalangle+ VU'W\sphericalangle=VU'W\sphericalangle,\)
ahogyan azt igazolni kívántuk.
Ezzel az általános helyzetű esetekre az állítást igazoltuk. Mint azt már említettük, az elfajuló esetekre az állítás igazolható alkalmas határátmenet képzésével. Egy másik lehetőség az elfajuló esetek külön vizsgálata, ami azonban új gondolatot már nem igényel, ezért nem is részletezzük.
Statisztika:
19 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bogár Blanka, Hajnal Máté, Karl E. Holter, Lenger Dániel, Máthé László, Varnyú József, Viharos Andor. 4 pontot kapott: Damásdi Gábor, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Köpenczei Gergő, Weisz Gellért. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2010. novemberi matematika feladatai