 |
A B. 4313. feladat (2010. december) |
B. 4313. A, B, C, D, E és F egy hattagú társaság tagjai. A társaság tagjai között n darab csokoládét osztanak szét úgy, hogy mindegyikük kap legalább egy darab csokoládét, továbbá A kevesebbet kap mint B, aki kevesebbet kap mint C, aki kevesebbet kap mint D, aki kevesebbet kap mint E, s végül F kapja a legtöbbet. A társaság tagjai ismerik ezeket a feltételeket, n értékét, és persze azt is, hogy ők maguk hány darab csokoládét kapnak, ezen felül azonban semmilyen más információval nem rendelkeznek. Melyik az a lehető legkisebb n érték, amely mellett a szétosztást el lehet úgy végezni, hogy egyikük se tudja pontosan megmondani, ki hány darab csokit kapott?
(Kavics Kupa 2010 feladata nyomán)
(3 pont)
A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle n\) szám értéke legalább \(\displaystyle 1+2+3+4+5+6=21\). 21 vagy 22 darab csokoládét a feltételeknek megfelelően csak egyféleképpen lehet szétosztani, ekkor tehát mindenki pontosan meg tudja mondani, ki hányat is kapott. Ha 23 darab csokoládét osztanak szét, azt kétféleképpen tehetik meg (\(\displaystyle 1+2+3+4+5+8\) vagy \(\displaystyle 1+2+3+4+6+7\) elosztásban); ez esetben \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) is pontosan meg tudja mondani ki hányat kapott. 24 darab csokoládét még mindig nem lehet jól szétosztani, a három lehetőség (\(\displaystyle 1+2+3+4+5+9\), \(\displaystyle 1+2+3+4+6+8\), illetve \(\displaystyle 1+2+3+5+6+7\)) bármelyike esetén \(\displaystyle F\) még mindig pontosan meg tudja mondani, ki hányat is kapott. 25 darab csokoládét azonban már ki lehet osztani, méghozzá az \(\displaystyle 1+2+3+5+6+8\) elosztásban, hiszen ekkor \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle F\) is gondolhatja azt, hogy az \(\displaystyle 1+2+3+4+7+8\) elosztás történt, \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) pedig gondolhatja azt, hogy az \(\displaystyle 1+2+4+5+6+7\) elosztásról van szó.
Statisztika:
127 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 68 versenyző. 2 pontot kapott: 28 versenyző. 1 pontot kapott: 16 versenyző. 0 pontot kapott: 15 versenyző.
A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai