A B. 4314. feladat (2010. december)

B. 4314. Három koncentrikus kör sugara 1, 2, illetve 3 egység. A három körön úgy választottunk ki egy-egy pontot, hogy azok egy szabályos háromszög csúcsai legyenek. Mekkora lehet ennek a szabályos háromszögnek az oldala?

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A körök legyenek rendre $\displaystyle k_1$, $\displaystyle k_2$, $\displaystyle k_3$, a három kiválasztott pontot jelölje rendre $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ és $\displaystyle C$, a körök közös középpontját pedig $\displaystyle O$. Tekintsük azt az $\displaystyle A$ körüli $\displaystyle 60^\circ$-os forgatást, amely a $\displaystyle B$ pontot $\displaystyle C$-be viszi; ez az $\displaystyle O$ pontot a $\displaystyle k_1$ kör egy $\displaystyle D$ pontjába viszi. A $\displaystyle k_2$ kör $\displaystyle k_2'$ képe tehát egy $\displaystyle D$ középpontú 2 sugarú körvonal, amely áthalad a $\displaystyle C$ ponton. Ez a $\displaystyle C$ pont a $\displaystyle k_2'$-t érintő $\displaystyle k_3$ körre is illeszkedik, tehát $\displaystyle C$-ben ennek a két körnek közös érintője van. Ez azt jelenti, hogy a $\displaystyle D$ pont illeszkedik az $\displaystyle OC$ szakaszra, vagyis a $\displaystyle COA$ szög megegyezik a $\displaystyle 60^\circ$-os $\displaystyle DOA$ szöggel. A $\displaystyle COA$ háromszögben $\displaystyle OC=3$ és $\displaystyle OA=1$, vagyis a koszinusz tétel szerint a szabályos háromszög oldala

$\displaystyle AC=\sqrt{OC^2+OA^2-2\cdot OC\cdot OA\cdot\cos60^\circ}=\sqrt{7}.$

A megoldásból könnyen látható az is, hogy ilyen háromszög valóban létezik.

Statisztika:

80 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	52 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	17 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai