A B. 4315. feladat (2010. december)

B. 4315. Az r pozitív racionális számról tudjuk, hogy r^r is racionális. Igazoljuk, hogy r egész szám.

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $\displaystyle r=a/b$, ahol $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ egymáshoz relatív prím pozitív egész számok, és legyen

$\displaystyle r^r=\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{a}{b}}=\frac{u}{v},$

ahol $\displaystyle u$ és $\displaystyle v$ szintén egymáshoz relatív prím pozitív egész számok. Ekkor $\displaystyle a^av^b=u^bb^a$. Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben $\displaystyle r$ nem egész szám. Ekkor létezik olyan $\displaystyle p$ prímszám, valamint $\displaystyle \alpha$ és $\displaystyle b_1$ pozitív egész számok, hogy $\displaystyle b=p^\alpha b_1$ és $\displaystyle b_1$ már nem osztható $\displaystyle p$-vel.

A fenti egyenlőségben a bal oldali szorzat is osztható kell legyen $\displaystyle p$-vel. Mivel $\displaystyle a$ nem osztható $\displaystyle p$-vel, $\displaystyle v$-nek oszthatónak kell lennie $\displaystyle p$-vel, $\displaystyle u$ pedig nem osztható $\displaystyle p$-vel. Legyen $\displaystyle v=p^\beta v_1$, ahol $\displaystyle v_1$ már nem osztható $\displaystyle p$-vel. Ekkor az $\displaystyle a^av^b$ szám törzstényezős felbontásában a $\displaystyle p$ prím $\displaystyle \beta b$-edik hatványon szerepel. Ugyanakkor az $\displaystyle u^bb^a$ szám törzstényezős felbontásában a $\displaystyle p$ prím $\displaystyle \alpha a$-adik hatványon szerepel, vagyis $\displaystyle \beta b=\alpha a$. Következésképpen $\displaystyle \alpha a$ osztható $\displaystyle b$-vel, és mivel $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ relatív prímek, $\displaystyle \alpha$ is osztható $\displaystyle b$-vel. Ez azonban lehetetlen, hiszen $\displaystyle \alpha<p^\alpha\le b$.

Statisztika:

87 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bogár Blanka, Bor Julianna, Damásdi Gábor, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Herczeg József, Homonnay Bálint, Kabos Eszter, Kiss 542 Robin, Maga Balázs, Medek Ákos, Mihálykó András, Perjési Gábor, Simig Dániel, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Zilahi Tamás, Zsakó András.
3 pontot kapott:	Czipó Bence, Keszthelyi Gergely, Lenger Dániel, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Weisz Gellért.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	40 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai