A B. 4316. feladat (2010. december)

B. 4316. Legyen az ABCD négyzet BC oldalának B-hez legközelebbi ötödölő pontja E, továbbá a CD oldal D-hez közelebbi harmadolópontjának C-re vonatkozó tükörképe F. Mutassuk meg, hogy az AE és BF egyenesek az ABCD négyzet köré írt körön metszik egymást.

Javasolta: Szászné Simon Judit (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Elegendő azt megmutatni, hogy $\displaystyle CMB\sphericalangle=135^\circ$. Mivel a $\displaystyle CMB$ szög nagyobb a $\displaystyle 45^\circ$-nál nyilván nagyobb $\displaystyle CFB$ szögnél, ez egyenértékű azzal, hogy $\displaystyle \sin CMF\sphericalangle=1/\sqrt{2}$. Legyen a négyzet oldala egységnyi, ekkor $\displaystyle CF=2/3$. A $\displaystyle CFM$ háromszögben

$\displaystyle \sin CFM\sphericalangle=\sin CFB\sphericalangle=\frac{CB}{FB}=\frac{1}{\sqrt{CF^2+CB^2}}=\frac{3}{\sqrt{13}}.$

A $\displaystyle CM$ szakasz hosszának meghatározásához tekintsük az $\displaystyle AE$ és $\displaystyle DC$ egyenesek $\displaystyle X$ metszéspontját. Az $\displaystyle ABE$ és $\displaystyle XCE$ háromszögek hasonlóságából $\displaystyle CX=CX:AB=CE:BE=4$. Ezért $\displaystyle FX=CX-CF=10/3$, vagyis az $\displaystyle M$ pont az $\displaystyle FB$ szakaszt $\displaystyle FX:AB=10:3$ arányban osztja. Ha az $\displaystyle M$ pont vetülete a $\displaystyle CF$ és $\displaystyle CB$ szakaszokra $\displaystyle U$, illetve $\displaystyle V$, akkor ennek alapján $\displaystyle CV=\frac{10}{13}CB=\frac{10}{13}$ és $\displaystyle CU=\frac{3}{13}CF=\frac{2}{13}$, ahonnan

$\displaystyle CM=\sqrt{CU^2+CV^2}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{13}}.$

Végül a szinusz-tétel alapján

$\displaystyle \sin CMF\sphericalangle=\frac{CF}{CM}\cdot\sin CFM\sphericalangle=1/\sqrt{2},$

ahogyan azt bizonyítani kívántuk.

Statisztika:

116 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	96 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai