A B. 4318. feladat (2010. december)

B. 4318. Adott az ABCD tetraéder. Legyen P az AB él, Q pedig a CD él tetszőleges pontja. Határozzuk meg a PQ szakasz felezőpontjának mértani helyét.

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle AC,BC,BD,AD$ élek felezőpontjai legyenek rendre $\displaystyle X,Y,Z,V$. Ekkor $\displaystyle XY$ és $\displaystyle ZV$ is párhuzamos az $\displaystyle AB$ éllel, és fele olyan hosszú, vagyis az $\displaystyle XY$ és $\displaystyle ZV$ szakaszok egyenlő hosszúak és párhuzamosak egymással. Hasonló állítás érvényes az $\displaystyle YZ$ és $\displaystyle VX$ szakaszokra is, tehát ilyen módon egy $\displaystyle XYZV$ paralelogramma jön létre. állítjuk, hogy ennek a paralolagrammának a pontjai alkotják a keresett mértani helyet.

Legyen $\displaystyle P$ az $\displaystyle AB$ él egy tetszőleges rögzített pontja, és tegyük fel, hogy $\displaystyle P$ az $\displaystyle AB$ szakaszt $\displaystyle \alpha:(1-\alpha)$ arányban osztja. Ekkor a $\displaystyle CP$ szakasz $\displaystyle P'$ felezőpontja is $\displaystyle \alpha:(1-\alpha)$ arányban osztja az $\displaystyle XY$ szakaszt, valamint a $\displaystyle DP$ szakasz $\displaystyle P''$ felezőpontja is $\displaystyle \alpha:(1-\alpha)$ arányban osztja az $\displaystyle VZ$ szakaszt. Itt $\displaystyle P'P''$ a $\displaystyle CDP$ háromszög $\displaystyle CD$-vel párhuzamos középvonala, így miközben a $\displaystyle Q$ pont befutja a $\displaystyle CD$ élet, aközben a $\displaystyle PQ$ szakasz felezőpontja éppen a $\displaystyle P'P''$ szakaszt futja be, amely része az $\displaystyle XYZV$ paralelogrammának.

Látjuk tehát, hogy a mértani hely minden pontja az $\displaystyle XYZV$ paralelogrammához tartozik. Mivel a paralelogramma minden, az $\displaystyle XV$ oldallal párhuzamos metszete megkapható, mint $\displaystyle P'P''$ szakasz a $\displaystyle P$ pont, vagyis a $\displaystyle 0\le \alpha\le 1$ szám megfelelő választása esetén, az is látszik, hogy a paralelogramma minden pontja a mértani helyhez tartozik.

Statisztika:

74 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Péter, Bősze Zsuzsanna, Homonnay Bálint, Kiss 542 Robin, Máthé László, Sieben Bertilla, Simig Dániel, Strenner Péter, Varnyú József, Viharos Andor, Weimann Richárd.
3 pontot kapott:	Bálint Csaba, Beke Lilla, Csörgő András, Czipó Bence, Dinev Georgi, Dolgos Tamás, Győrfi 946 Mónika, Kabos Eszter, Kenéz Balázs, Lenger Dániel, Maga Balázs, Mátrahegyi Roland, Medek Ákos, Nagy 111 Miklós, Ódor Gergely, Tatár Dániel, Tossenberger Tamás, Weisz Gellért, Zilahi Tamás.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai