 |
A B. 4319. feladat (2010. december) |
B. 4319. Valaki megrajzolt egy háromszöget úgy, hogy a csúcsai sajnos nem fértek rá a téglalap alakú papírlapra, de legalább az oldalaiból egy-egy szakasz látszik. Tudjuk, hogy a háromszög magasságpontja valahol a papírlapon van. Ezen a papírlapon dolgozva szerkesszük meg a háromszög magasságpontját.
(4 pont)
A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A téglalap egy tetszőleges \(\displaystyle P\) belső pontjából kicsinyítsük felére a háromszöget úgy, hogy a látható oldalszakaszokat felére kicsinyítjük, majd az így kapott szakaszokat meghosszabbítjuk. Ha a háromszög még mindig nem fér rá a papírra, akkor ismételjük meg az eljárást még néhányszor egészen addig, amíg az \(\displaystyle 1:2^k\) arányban lekicsinyített háromszög végül teljes egészében rá nem fér a papírlapra. Mivel az eredeti háromszög \(\displaystyle M\) magasságpontja a papíron volt, a kis háromszög \(\displaystyle M'\) magasságpontja is a papírlapon lesz, hiszen a \(\displaystyle PM\) szakasznak arról a pontjáról van szó, amelyre \(\displaystyle PM'=PM/2^k\). Megkülönböztetve a hegyes-, illetve a tompaszögű eseteket, könnyen meggondolható, hogy a kis háromszöget használva az \(\displaystyle M'\) pont megszerkeszthető az ismert eljárással úgy, hogy az egész szerkesztési eljárás a papírlap keretein belül zajlik. Ezután pedig az \(\displaystyle M'\) pontot \(\displaystyle P\)-ből \(\displaystyle 2^k:1\) arányban nagyítva megkapjuk az \(\displaystyle M\) pontot.
Statisztika:
63 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Beke Lilla, Beleznay Soma, Csizmadia Luca, Csuka Róbert, Dankovics Viktor, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Frittmann Júlia, Hartvig 147 Dániel, Herczeg József, Kenéz Balázs, Kiss 542 Robin, Köpenczei Gergő, Kúsz Ágnes, Lajos Mátyás, Lenger Dániel, Lezsák Gábor, Nagy 111 Miklós, Nagy Róbert, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Sieben Bertilla, Solti Bálint, Szabó 928 Attila, Takács 737 Gábor, Varnyú József, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Weisz Gellért, Zelena Réka. 3 pontot kapott: Ádám Liliána, Árvay Balázs, Barczel Nikolett, Bősze Zsuzsanna, Csörgő András, Énekes Péter, Hajnal Máté, Halmosi Bence, Kecskés Boglárka, Scharle Csilla, Szende Tamás, Szórádi Márk, Tóth Tekla, Trócsányi Péter, Varga 911 Szabolcs. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai