A B. 4320. feladat (2010. december)

B. 4320. Írjuk le egy sorba az () számokat, alájuk pedig rendre azokat a 0<y₁<y₂<... egészeket, amelyek nem szerepelnek az x_k számok között. Határozzuk meg az y_k-x_k különbséget k függvényében.

Javasolta: László Lajos (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $\displaystyle b_k=x_k+2k=\big[k\sqrt2+2k\,\big]=\big[(2+\sqrt2)k\,\big]$. Megmutatjuk, hogy minden $\displaystyle k$ pozitív egészre $\displaystyle y_k=b_k$, amiből $\displaystyle y_k-x_k=2k$ következik. Legyen $\displaystyle n$ tetszőleges pozitív egész szám. Mivel $\displaystyle \sqrt{2}$ irracionális, az $\displaystyle x_k$ sorozat $\displaystyle n$-nél nem nagyobb, más szóval $\displaystyle (n+1)$-nél kisebb elemeinek száma $\displaystyle \left[ \frac{n+1}{\sqrt{2}} \right]$. Hasonlóképpen, a $\displaystyle b_k$ sorozat $\displaystyle n$-nél nem nagyobb elemeinek száma $\displaystyle \left[ \frac{n+1}{2+\sqrt{2}} \right]$. Mármost

$\displaystyle \frac{n+1}{\sqrt{2}}+\frac{n+1}{2+\sqrt{2}}= \frac{(\sqrt{2}+1)(n+1)}{2+\sqrt{2}}+\frac{n+1}{2+\sqrt{2}}=n+1,$

ahonnan

$\displaystyle \left[ \frac{n+1}{\sqrt{2}} \right]+ \left[ \frac{n+1}{2+\sqrt{2}} \right]=n$

adódik.

Minden $\displaystyle n$-re teljesül tehát, hogy a két sorozatnak együttesen pontosan $\displaystyle n$ olyan eleme van, amelyik nem nagyobb $\displaystyle n$-nél. Ez azt jelenti, hogy minden pozitív egész szám szerepel valamelyik sorozatban, mégpedig pontosan az egyikben, és pontosan egyszer. A $\displaystyle b_k$ sorozat elemei tehát éppen az $\displaystyle y_1,y_2,\ldots$ számok lesznek valamilyen sorrendben. Mivel az $\displaystyle y_k$ és a $\displaystyle b_k$ sorozat is monoton növekedő, valóban $\displaystyle b_k=y_k$, ahogyan azt állítottuk.

Statisztika:

19 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Bogár Blanka, Damásdi Gábor, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Köpenczei Gergő, Lenger Dániel, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Sándor Áron Endre, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Varnyú József, Zsakó András.
4 pontot kapott:	Tóth Tekla.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2010. decemberi matematika feladatai