A B. 4323. feladat (2011. január)

B. 4323. Oldjuk meg a következő egyenletet:

(3 pont)

A beküldési határidő 2011. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A bal oldalon álló tört nevezője pontosan akkor 0, ha \(\displaystyle x=-1\). Ennek 4-szeresével való beszorzás és átrendezés után az

\(\displaystyle x^4-12x^3-18x^2-12x+1=0\)

egyenletet kapjuk, mely ekvivalens az eredetivel, hiszen nem gyöke a \(\displaystyle -1\). Az \(\displaystyle y=x+\frac{1}{x}\) helyettesítést alkalmazva az egyenlet \(\displaystyle y^2-12y-20\) alakra hozható, melynek gyökei \(\displaystyle y_{1,2}=6\pm\sqrt{56}\). Mivel \(\displaystyle |6-\sqrt{56}|<2\), \(\displaystyle y=6-\sqrt{56}\) esetén az \(\displaystyle x^2-yx+1=0\) egyenletnek nincs valós megoldása. Ezzel az eredeti egyenletet az

\(\displaystyle x^2-(6+\sqrt{56})x+1=0\)

egyenletre redukáltuk, melynek megoldása

\(\displaystyle x_{1,2}=3+\sqrt{14}\pm \sqrt{22+6\sqrt{14}}.\)

Statisztika:

166 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	88 versenyző.
2 pontot kapott:	45 versenyző.
1 pontot kapott:	21 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2011. januári matematika feladatai