A B. 4324. feladat (2011. január)

B. 4324. Az ABC háromszögben az A-ból induló magasságvonal talppontja D, a B-ből induló magasságvonal felezőpontja E, továbbá a C-ből induló magasságvonal felezőpontja F. Mutassuk meg, hogy .

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyszerűség kedvéért az állítást abban az esetben igazoljuk, amikor az $\displaystyle ABC$ háromszög hegyesszögű; a bizonyítás a többi esetben is hasonló gondolatokkal elvégezhető. A $\displaystyle B$-ből és $\displaystyle C$-ből induló magasságvonalak talppontját jelölje $\displaystyle B'$, illetve $\displaystyle C'$, a magasságpontot $\displaystyle M$, a $\displaystyle CAB$ szöget $\displaystyle \alpha$. Figyelembe véve, hogy a $\displaystyle BDMC'$ és $\displaystyle CDMB'$ négyszögek húrnégyszögek, kapjuk, hogy

$\displaystyle CC'D\angle=MC'D\angle=MBD\angle=B'BD\angle,$

és ugyanígy $\displaystyle C'CD\angle=BB'D\angle$, tehát a $\displaystyle CC'D$ háromszög hasonló a $\displaystyle B'BD$ háromszöghöz. Minthogy az $\displaystyle ACDC'$ négyszög is húrnégyszög, $\displaystyle BDC'\angle=CAC'\angle=\alpha$, tehát a $\displaystyle B'BD$ háromszöget $\displaystyle D$ pont körüli $\displaystyle \alpha$ szögű forgatva nyújtás viszi a $\displaystyle CC'D$ háromszögbe. Ez a forgatva nyújtás az első háromszög $\displaystyle DE$ súlyvonalát a második háromszög $\displaystyle DF$ súlyvonalába viszi, tehát valóban $\displaystyle EDF\angle=\alpha$.

Statisztika:

70 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	52 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

A KöMaL 2011. januári matematika feladatai