A B. 4337. feladat (2011. február)

B. 4337. Határozzuk meg azokat a p valós számokat, amelyekre az

x³-7x+p=0

egyenletnek van két olyan valós gyöke, amelyek különbsége 1.

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy az $\displaystyle a$ és $\displaystyle b=a+1$ valós számok gyökei az egyenletnek. Ekkor az $\displaystyle x^3-7x+p$ polinomból az $\displaystyle x-a$ és $\displaystyle x-b$ gyöktényező is kiemelhető, vagyis

$\displaystyle x^3-7x+p=(x-a)(x-b)(x-c)$

teljesül alkalmas $\displaystyle c$ valós számmal. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések értelmében

$\displaystyle a+b+c=0,\ ab+ac+bc=-7,\ abc=-p.$

Az első összefüggés alapján $\displaystyle c=-(a+b)=-(2a+1)$. Ezt a második összefüggésbe behelyettesítve

$\displaystyle ab+(a+b)c=a(a+1)-(2a+1)^2=-7.$

Az így kapott $\displaystyle a^2+a-2=0$ másodfokú egyenlet két megoldása $\displaystyle a_1=1$ és $\displaystyle a_2=-2$. Az ezekhez tartozó $\displaystyle b,c$ értékek $\displaystyle b_1=2$, $\displaystyle c_1=-3$, illetve $\displaystyle b_2=-1$, $\displaystyle c_2=3$. Mivel az első két összefüggés mindkét esetben teljesül, a harmadik összefüggés alapján a megfelelő $\displaystyle p$ értékekre $\displaystyle p_1=6$, illetve $\displaystyle p_2=-6$ adódik.

Statisztika:

129 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	110 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2011. februári matematika feladatai