 |
A B. 4353. feladat (2011. április) |
B. 4353. Legyen A egy pozitív egész szám, B pedig jelölje az A számjegyeinek fordított sorrendben való felírásával keletkező számot. Mutassuk meg, hogy az A+B és A-B számok közül legalább az egyik osztható 11-gyel.
Javasolta: Mészáros József (Jóka)
(3 pont)
A beküldési határidő 2011. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyenek \(\displaystyle A\) számjegyei \(\displaystyle a_n, a_{n-1},\ldots, a_0\); ekkor \(\displaystyle A=10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+\ldots+a_0\) és \(\displaystyle B=10^na_0+\ldots+10a_{n-1}+a_n\). Ha \(\displaystyle n\) páratlan, akkor az
\(\displaystyle A+B=\sum_{i=0}^n(10^i+10^{n-i})a_i\)
összeg minden tagja osztható \(\displaystyle 11\)-gyel, hiszen \(\displaystyle i<n/2\) esetén
\(\displaystyle 10^i+10^{n-i}=10^{i}(10^{n-2i}+1),\)
ahol \(\displaystyle n-2i\) páratlan lévén \(\displaystyle 10+1\mid 10^{n-2i}+1\), \(\displaystyle i>n/2\) esetén pedig
\(\displaystyle 10^i+10^{n-i}=10^{n-i}(10^{2i-n}+1),\)
ahol \(\displaystyle 10+1\mid 10^{2i-n}+1\), hiszen \(\displaystyle 2i-n\) páratlan. Ezért ilyenkor \(\displaystyle A+B\) osztható 11-gyel.
Hasonlóképpen, ha \(\displaystyle n\) páros, akkor \(\displaystyle n-2i\) és \(\displaystyle 2i-n\) is páros, így az
\(\displaystyle A-B=\sum_{i=0}^n(10^i-10^{n-i})a_i\)
szám 11-gyel való osztatósága leolvasható a
\(\displaystyle 10^i-10^{n-i}=-10^{i}(10^{n-2i}-1)\qquad (i< n/2),\)
illetve a
\(\displaystyle 10^i-10^{n-i}=10^{n-i}(10^{2i-n}-1)\qquad (i\ge n/2)\)
átalakításokról.
Statisztika:
118 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 87 versenyző. 2 pontot kapott: 16 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2011. áprilisi matematika feladatai