A B. 4356. feladat (2011. április)

B. 4356. Adott AB szakaszra legfeljebb hat olyan -- AB egyenesének ugyanazon oldalára eső -- egymáshoz hasonló háromszöget lehet szerkeszteni, amelynek egyik oldala AB. Igazoljuk, hogy ezen háromszögek harmadik csúcsai egy körre illeszkednek.

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az állítás triviális, ha a háromszög egyenlő szárú: szabályos háromszög esetén mind a hat háromszög egybeesik, ha pedig az egyenlő szárú háromszög nem szabályos, akkor három különböző háromszög keletkezik, melyek harmadik csúcsai nem esnek egy egyenesre.

Ha a háromszög nem egyenlő szárú, akkor legyenek szögei \(\displaystyle \alpha<\beta<\gamma\). Az \(\displaystyle AB\) szakasz felező merőlegesét jelölje \(\displaystyle f\). A hat különböző csúcspont közül tekintsük azt a hármat, amelyik \(\displaystyle f\)-nek az \(\displaystyle A\) pontot tartalmazó oldalára esik; ezek az \(\displaystyle AB\) egyenestől való távolságuk növekvő sorrendjében legyenek \(\displaystyle P,Q,R\). A másik három pontot ezen pontok \(\displaystyle f\)-re vonatkozó tükörképeként kapjuk, ezeket jelölje rendre \(\displaystyle P',Q',R'\). Ekkor \(\displaystyle ABP\angle=ABQ\angle=\alpha\), \(\displaystyle ABR\angle=BAP\angle=\beta\) és \(\displaystyle BAQ\angle=BAR\angle=\gamma\). Ezek alapján

\(\displaystyle QRP'\angle=ARB\angle=\alpha=ABQ\angle=Q'QB\angle=Q'QP\angle=QQ'P'\angle,\)

vagyis a \(\displaystyle QP'\) szakasz az ugyanazon oldalára eső \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle Q'\) pontokból azonos szög alatt látszik. Ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle R,Q,P',Q'\) pontok egy körre illeszkednek. Mivel ennek a körnek a középpontja \(\displaystyle f\)-re illeszkedik, a körvonal áthalad a \(\displaystyle P\) és az \(\displaystyle R'\) pontokon is.

Statisztika:

48 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Péter, Bálint Csaba, Beleznay Soma, Boér Lehel, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Csörgő András, Damásdi Gábor, Énekes Péter, Fatér Alexa, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyarmati Máté, Győrfi 946 Mónika, Hajnal Máté, Herczeg József, Homonnay Bálint, Kabos Eszter, Kenéz Balázs, Máthé László, Medek Ákos, Molnár Ákos, Müller Dóra Tímea, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Sieben Bertilla, Simig Dániel, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Varga 911 Szabolcs, Weimann Richárd, Weisz Ambrus, Weisz Gellért, Wiandt Zsófia, Zelena Réka, Zilahi Tamás, Zsakó András.
3 pontot kapott:	Barczel Nikolett, Csuma-Kovács Ádám, Nagy Róbert.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2011. áprilisi matematika feladatai