A B. 4362. feladat (2011. május)

B. 4362. Egy tömör kocka minden csúcsát úgy vágtuk le, hogy így egy 8 háromszöglapból és 6 hétszöglapból álló testet kaptunk. Hány csúcsa és éle lehet az ilyen poliédereknek?

(3 pont)

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A testnek \(\displaystyle \ell=14\) lapja van. A lapoknak összesen \(\displaystyle 8\times 3+6\times 7=66\) éle van. Mivel minden él pontosan két lapot határol, az élek száma \(\displaystyle e=66/2=33\). A csúcsok \(\displaystyle c\) számát meghatározhatjuk az Euler-féle poliédertételből: az \(\displaystyle l+c=e+2\) összefüggés alapján \(\displaystyle c=33+2-14=21\). Könnyen meggondolható az is, hogy ilyen test csak úgy jöhet létre, hogy csúcsaiból a kocka élei közül három páronként kitérő élre esik egy-egy, a többi kilenc élre pedig kettő-kettő.

Statisztika:

76 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Ágoston Péter, Baráti László, Bogár Blanka, Bunth Gergely, Csernák Tamás, Csuma-Kovács Ádám, Dunay Luca, Énekes Tamás, Forrás Bence, Géczi Péter Attila, Herczeg József, Homonnay Bálint, Kacz Dániel, Kaprinai Balázs, Kovács 737 Ármin, Kúsz Ágnes, Lajos Mátyás, Lenger Dániel, Maga Balázs, Mihálykó András, Sieben Bertilla, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tatár Dániel, Vajk Dóra, Varga Zoltán Attila, Viharos Andor, Weimann Richárd, Zahemszky Péter, Zsiros Ádám.
2 pontot kapott:	35 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2011. májusi matematika feladatai