 |
A B. 4363. feladat (2011. május) |
B. 4363. Egy táblára felírtuk 2-től 2011-ig a természetes számok reciprokait. Egy lépésben letörlünk két számot, x-et és y-t, s helyettük felírjuk az
számot. Ezt ismételve 2009-szer, csak egy szám marad. Mi lehet ez a szám?
Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)
(4 pont)
A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha
\(\displaystyle z=\frac{xy}{xy + (1-x)(1-y)},\)
akkor
\(\displaystyle \left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)= \frac{(1-x)(1-y)}{xy}=\frac{1}{z}-1.\)
Ez azt jelenti, hogy ha a táblán lévő számok halmazát \(\displaystyle A\) jelöli, akkor a
\(\displaystyle \prod_{x\in A}\left(\frac{1}{x}-1\right)\)
szorzat értéke az eljárás során nem változik. Kezdetben ez az érték \(\displaystyle 2010!\), vagyis ha az eljárás végén az \(\displaystyle x\) szám marad a táblán, akkor
\(\displaystyle \frac{1}{x}-1=2010!,\qquad x=\frac{1}{2010!+1}.\)
Statisztika:
54 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bősze Zsuzsanna, Bunth Gergely, Czipó Bence, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Hajnal Máté, Herczeg József, Klincsik Gergely, Máthé László, Mihálykó András, Perjési Gábor, Schultz Vera Magdolna, Sieben Bertilla, Strenner Péter, Szilágyi Gergely Bence, Tossenberger Tamás, Weimann Richárd, Zelena Réka, Zilahi Tamás, Zsakó András. 3 pontot kapott: Boér Lehel, Csősz Gábor, Homonnay Bálint, Kabos Eszter, Simig Dániel, Weisz Gellért, Zahemszky Péter. 2 pontot kapott: 24 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2011. májusi matematika feladatai