A B. 4365. feladat (2011. május)

B. 4365. Keressük meg az összes olyan n pozitív egész számot, amelyre 2ⁿ-1 és 2ⁿ⁺²-1 is prím, továbbá 2ⁿ⁺¹-1 nem osztható 7-tel.

Javasolta: Kiss Sándor (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha $\displaystyle k=1$, akkor $\displaystyle 2^k-1=1$ nem prím. Ha $\displaystyle k=ab$, ahol $\displaystyle a,b$ 1-nél nagyobb egész számok, akkor $\displaystyle 2^a-1>1$ valódi osztója a $\displaystyle 2^k-1$ számnak. Ezért ha $\displaystyle 2^n-1$ és $\displaystyle 2^{n+2}-1$ is prím, akkor $\displaystyle n$ és $\displaystyle n+2$ is prím kell legyen. Mármost ha $\displaystyle n>3$, akkor $\displaystyle n$ páratlan, tehát $\displaystyle n+1$ páros. Továbbásem $\displaystyle n$, sem $\displaystyle n+2$ nem osztható 3-mal, tehát $\displaystyle n+1$ osztható 3-mal, így 6-tal is. Ekkor viszont $\displaystyle 2^6-1\mid 2^{n+1}-1$ miatt $\displaystyle 2^{n+1}-1$ osztható $\displaystyle 7$-tel. Mivel $\displaystyle n=2$ esetén $\displaystyle n+2$ nem prím, az egyetlen lehetőség $\displaystyle n=3$, ami meg is felel a feltételeknek.

Statisztika:

78 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	56 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2011. májusi matematika feladatai