 |
A B. 4365. feladat (2011. május) |
B. 4365. Keressük meg az összes olyan n pozitív egész számot, amelyre 2n-1 és 2n+2-1 is prím, továbbá 2n+1-1 nem osztható 7-tel.
Javasolta: Kiss Sándor (Budapest)
(3 pont)
A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha \(\displaystyle k=1\), akkor \(\displaystyle 2^k-1=1\) nem prím. Ha \(\displaystyle k=ab\), ahol \(\displaystyle a,b\) 1-nél nagyobb egész számok, akkor \(\displaystyle 2^a-1>1\) valódi osztója a \(\displaystyle 2^k-1\) számnak. Ezért ha \(\displaystyle 2^n-1\) és \(\displaystyle 2^{n+2}-1\) is prím, akkor \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n+2\) is prím kell legyen. Mármost ha \(\displaystyle n>3\), akkor \(\displaystyle n\) páratlan, tehát \(\displaystyle n+1\) páros. Továbbásem \(\displaystyle n\), sem \(\displaystyle n+2\) nem osztható 3-mal, tehát \(\displaystyle n+1\) osztható 3-mal, így 6-tal is. Ekkor viszont \(\displaystyle 2^6-1\mid 2^{n+1}-1\) miatt \(\displaystyle 2^{n+1}-1\) osztható \(\displaystyle 7\)-tel. Mivel \(\displaystyle n=2\) esetén \(\displaystyle n+2\) nem prím, az egyetlen lehetőség \(\displaystyle n=3\), ami meg is felel a feltételeknek.
Statisztika:
78 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 56 versenyző. 2 pontot kapott: 15 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2011. májusi matematika feladatai