Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4367. feladat (2011. május)

B. 4367. Oldjuk meg a következő egyenletet:

\frac{3x+3}{\sqrt{x}}=4+\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}}.

Javasolta: Mészáros József (Jóka)

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenletben szereplő kifejezések pontosan akkor értelmezhetőek, ha \(\displaystyle x\) pozitív. Ekkor \(\displaystyle (\sqrt{x}-1)^2\ge 0\) miatt \(\displaystyle x+1\ge 2\sqrt{x}\), vagyis

\(\displaystyle \frac{3x+3}{\sqrt{x}}\ge 6,\)

ahol egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha \(\displaystyle \sqrt{x}=1\). Hasonlóképpen \(\displaystyle 3(x^2+1)\ge 6x\), vagyis \(\displaystyle 4(x^2-x+1)\ge (x+1)^2\), ahonnan

\(\displaystyle 4+\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}}\le 6\)

következik. Mivel egyenlőség itt is az \(\displaystyle x=1\) esetben áll fenn, az egyenlet egyetlen megoldása \(\displaystyle x=1\).

Statisztika:

64 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:51 versenyző.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:9 dolgozat.

A KöMaL 2011. májusi matematika feladatai