A B. 4370. feladat (2011. május)

B. 4370. Jelölje a, b, c egy háromszög oldalainak hosszát, u, v, w pedig a beírt kör középpontjának a velük szemben levő csúcsoktól vett távolságát. Bizonyítsuk be, hogy

Javasolta: Mészáros József (Jóka)

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha $\displaystyle a=b$, akkor nyilván $\displaystyle u=v$, ha pedig $\displaystyle a>b$, akkor $\displaystyle u<v$. Ennek belátásához jelölje $\displaystyle K$ a beírt kör középpontját, $\displaystyle C_1$ a $\displaystyle C$-ből induló szögfelező talppontját, $\displaystyle E_C$ pedig a beírt körnek az $\displaystyle AB$ oldallal vett érintési pontját. A szögfelező-tétel szerint ekkor $\displaystyle AC_1<BC_1$, továbbá$\displaystyle \alpha>\beta$ miatt a $\displaystyle CC_1A$ szög kisebb, mint a $\displaystyle CC_1B$ szög, vagyis $\displaystyle E_C$ az $\displaystyle AC_1$ szakasz belső pontja. Ezért $\displaystyle AE_C<AC_1<BC_1<BE_C$, és végül $\displaystyle u=\sqrt{AE_C^2+KE_C^2}<\sqrt{BE_C^2+KE_C^2}=v$.

Legyen $\displaystyle 1/u=a'$, $\displaystyle 1/v=b'$, $\displaystyle 1/w=c'$. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy $\displaystyle a\le b\le c$; ekkor a fentiek értelmében $\displaystyle a'\le b'\le c'$. A rendezési tétel értelmében $\displaystyle ab'+bc'+ca'\le aa'+bb'+cc'$ és $\displaystyle ac'+ba'+cb'\le aa'+bb'+cc'$. A két egyenlőtlenség összeadásával nyert egyenlőtlenség mindkét oldalát az $\displaystyle aa'+bb'+cc'$ mennyiséggel megnövelve kapjuk, hogy $\displaystyle (a+b+c)(a'+b'+c')\le 3(aa'+bb'+cc')$, amit bizonyítanunk kellett. Ha azt is figyelembe vesszük, hogy $\displaystyle a<b$ esetén $\displaystyle a'<b'$, illetve $\displaystyle b<c$ esetén $\displaystyle b'<c'$, akkor könnyen megmutatható az is, hogy egyenlőség csakis az $\displaystyle a=b=c$ esetben teljesülhet, vagyis ha szabályos háromszögről van szó.

Statisztika:

21 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Baráti László, Bogár Blanka, Damásdi Gábor, Dinev Georgi, Dudás 002 Zsolt, Frittmann Júlia, Gyarmati Máté, Lenger Dániel, Maga Balázs, Nagy Róbert, Perjési Gábor, Schultz Vera Magdolna, Simig Dániel, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Szilágyi Gergely Bence, Tossenberger Tamás, Vajda Balázs, Zilahi Tamás.
4 pontot kapott:	Dolgos Tamás.

A KöMaL 2011. májusi matematika feladatai