A B. 4374. feladat (2011. szeptember)

B. 4374. Egy 5 cm élhosszúságú kocka alakú sajt közepén ül Pacworm, a sajtkukac. A sajtot úgy rágja meg, hogy mindig egyszerre 1 cm-t halad valamelyik éllel párhuzamosan, majd irányt vált figyelve arra, hogy amikor elindul az új irányba, akkor több mint 1 cm vastagságú érintetlen sajtréteg legyen előtte. Feltéve, hogy mind elindulásnál, mind irányváltásnál a sajtkukac a lehetséges irányok közül ugyanakkora valószínűséggel választ ki egyet, mekkora a valószínűsége annak, hogy 5 cm megtétele után valamelyik éltől legfeljebb 0,8 cm távolságra lesz?

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyünk fel egy olyan koordinátarendszert, melynek tengelyei párhuzamosak a kocka alakú sajt éleivel, középpontja egybeesik a kocka középpontjával, az egység pedig mindhárom tengely irányában 1 cm. A sajtkukac minden egész cm megtétele után egy olyan pontba kerül, melynek mindhárom koordinátája 2-nél nem nagyobb abszolút értékű egész szám. Mivel az éleken elhelyezkedő pontok koordinátái közül legalább kettőnek az abszolút értéke 2,5, egy kockabeli rácspont csak akkor lehet valamelyik éltől legfeljebb 0,8 cm távolságra, ha legalább két koordinátájának abszolút értéke 2; ekkor pedig valamelyik éltől pontosan \(\displaystyle \sqrt{2}/2<0,8\) cm távolságra lesz. Mivel páratlan sok cm megtétele után a koordináták abszolút értékeinek összege páratlan, a sajtkukac pontosan akkor lesz 5 cm megtétele után valamelyik éltől legfeljebb 0,8 cm távolságra, ha akkor helyzetének koordinátai közül kettőnek az abszolút értéke 2, egynek pedig 1. Ehhez pedig szükséges és elegendő, hogy minden egyes új cm megtétele után valamelyik koordináta abszolút értéke 1-gyel nagyobb legyen. Ahhoz tehát, hogy valamelyik lehetséges célpontot elérje, ha a sajtkukac valamelyik irányba egyszer már elmozdult, később soha nem fordulhat azzal ellentétes irányba.

Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy a sajtkukac első ``lépés'' után az \(\displaystyle (1;0;0)\), a második után pedig az \(\displaystyle (1;1;0)\) pontba kerül. Innen 4 irányba fordulhat, 1/4 valószínűséggel rossz irányba fordulva a \(\displaystyle (0;1;0)\) pontba lép, ahonnan már egyik célpontot sem érheti el további két lépéssel. Tehát 3/4 a valószínűsége annak, hogy a harmadik lépéssel valamelyik célponthoz közelebb kerül; ebből 1/4 valószínűséggel a \(\displaystyle (2;1;0)\) pontban, 1/2 valószínűséggel pedig az \(\displaystyle (1;1;1)\) vagy az \(\displaystyle (1;1;-1)\) pontban lesz. Szimmetria okok miatt tehát feltehetjük, hogy a harmadik lépés után a sajtkukac 1/4 valószínűséggel a \(\displaystyle (2;1;0)\) pontba, 1/2 valószínűséggel pedig az \(\displaystyle (1;1;1)\) pontba érkezik.

Ha a \(\displaystyle (2;1;0)\) pontba érkezett, akkor elfordulás után vagy a második, vagy a harmadik koordinátája fog megváltozni. A 4 megengedett irány közül azonban az egyik megint csak rossz irány, vagyis szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy ha a harmadik lépés után a \(\displaystyle (2;1;0)\) pontba érkezett, akkor a negyedik lépés megtételével onnan 1/4 valószínűséggel a \(\displaystyle (2;2;0)\), 1/2 valószínűséggel pedig a \(\displaystyle (2;1;1)\) pontba került. Ha a \(\displaystyle (2;2;0)\) pontba került, akkor az ötödik lépésnél az első vagy a harmadik koordinátáját változtathatja, de az elsőt a feltételek szerint nem növelheti, mert abban az irányban csak 1/2 cm sajtréteg lenne előtte. Ha pedig az első koordinátát csökkenti, akkor rossz irányba lép. Vagyis ekkor 2/3 valószínűséggel éri el valamelyik célpontot. Ha viszont a \(\displaystyle (2;1;1)\) pontba került, akkor innen a 3 megengedett lépés valamelyikét választva csak az egyik során juthat el egy alkalmas célpontba, nevezetesen a \(\displaystyle (2;2;1)\) pontba.

Ha a harmadik lépés után az \(\displaystyle (1;1;1)\) pontba érkezett, akkor ezt követően az első vagy a második koordinátáját változtathatja, szimmetria okok miatt tehát feltételezhetjük, hogy 1/2 valószínűséggel a \(\displaystyle (2;1;1)\) pontba mozdult el. Ezután az ötödik lépésnél vagy a második, vagy a harmadik koordinátáját változtathatja bármelyik irányban; a lehetséges 4 irány közül kettő fogja egy alkalmas célpontba juttatni.

Összegezve, annak valószínűsége, hogy az ötödik lépés után valamelyik lehetséges célpontba kerül,

\(\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} \right)+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{24}.\)

Azt gondolhatnánk, hogy ezzel megoldottuk a feladatot. Ez azonban nincs így, hiszen nem vettük figyelembe azt a feltevést, hogy a sajtkukac valóban megtett 5 cm utat. A megoldás akkor lesz csak teljes, ha megjegyezzük, hogy valahányszor a sajtkukac rossz irányba fordul (vagyis lépésével nem növeli valamelyik koordinátájának (bszolút értékét), még megvan a lehetősége arra, hogy összesen 5 cm utat bejárjon.

Statisztika:

49 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Czipó Bence, Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Mócsy Miklós, Strenner Péter, Viharos Andor.
3 pontot kapott:	Beleznay Soma, Maga Balázs.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.

A KöMaL 2011. szeptemberi matematika feladatai