A B. 4377. feladat (2011. szeptember)

B. 4377. Az ABC háromszög oldalaira kifelé megszerkesztjük az ABD, BCE, CAF szabályos háromszögeket. Legyenek a DE, EF, FD szakaszok felezőpontjai rendre G, H, I. Igazoljuk, hogy BG=CH=IA.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

A beküldési határidő 2011. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle A,B,C$ pontoknak az $\displaystyle I,G,H$ pontokra vett tükörképét jelölje rendre $\displaystyle A',B',C'$, ekkor $\displaystyle AA'=2IA$, $\displaystyle BB'=2BG$ és $\displaystyle CC'=2CH$. Szimmetria okok miatt elég lesz a $\displaystyle BB'=CC'$ egyenlőséget igazolni.

Az $\displaystyle AD$ szakaszt az $\displaystyle A$ pont körüli $\displaystyle 60^\circ$-os $\displaystyle \Phi$ forgatás az $\displaystyle AB$ szakaszba viszi. Mivel $\displaystyle \overrightarrow{DB'}=\overrightarrow{BE}$ és az $\displaystyle EBC$ szög is $\displaystyle 60^\circ$-os, ugyanez a forgatás a $\displaystyle DB'$ szakaszt a $\displaystyle BC$ szakaszba viszi, tehát az $\displaystyle ADB'$ háromszöget az $\displaystyle ABC$ háromszögbe viszi, és így $\displaystyle \Phi(AB')=AC$. Ugyanígy $\displaystyle \Phi(AC)=AF$ és $\displaystyle \Phi(CB)=FC'$, vagyis $\displaystyle \Phi(AB)=AC'$. Következésképpen $\displaystyle \Phi(B'B)=CC'$, vagyis a $\displaystyle \Phi$ forgatás a $\displaystyle B'B$ szakaszt a $\displaystyle CC'$ szakaszba viszi. Ezért a két szakasz valóban ugyanolyan hosszú.

Statisztika:

64 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Bánovics Gábor, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Dinev Georgi, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gasparics Fanni, Halász Dániel, Kerti Dávid, Kocsis Laura, Leitereg András, Leitereg Miklós, Machó Bónis, Máthé László, Medek Ákos, Mester Márton, Nagy Anna Noémi, Nagy-György Pál, Nemes György, Papp Roland, Rábai Domonkos, Regele Balázs, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szekeres Ágnes, Szilágyi Gergely Bence, Tardos Jakab, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Varga 149 Imre Károly, Varga 911 Szabolcs, Varjú János, Varnyú József, Viharos Andor, Weimann Richárd, Zilahi Tamás, Zsakó András.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.

A KöMaL 2011. szeptemberi matematika feladatai