 |
A B. 4379. feladat (2011. szeptember) |
B. 4379. Szerkesszük meg a nem egyenlő szárú háromszöget, ha adottak a külső szögfelezőknek a körülírt körrel vett, csúcsoktól különböző metszéspontjai.
(4 pont)
A beküldési határidő 2011. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A háromszög csúcsait jelölje pozitív körüljárás szerint A,B,C, a szóban forgó metszéspontokat értelemszerűen A′,B′,C′, a körülírt kör középpontját O.
Minthogy a háromszög nem egyenlő szárú, C≠C′. A szokásos jelöléseket megtartva, dolgozzunk irányított szögekkel. Ha a C′ pont az ábrán látható módon helyezkedik el, akkor BCC′∢=90∘−γ/2, ellenkező esetben BCC′∢=270∘−γ/2. A kerületi és középponti szögek között fennálló összefüggés alapján mindkét esetben BOC′∢=180∘−γ. Minthogy BOC∢=2α, innen azt kapjuk, hogy C′OC∢=BOC∢−BOC′∢=2α+γ−180∘. Hasonlóan COA′∢=180∘−α, vagyis C′OA′∢=C′OC∢+COA′∢=α+γ=180∘−β. Ugyanilyen alapon A′OB′∢=180∘−γ és B′OC′∢=180∘−α.
Ennek alapján a szerkesztést a következőképpen végezhetjük el. Először is szükséges, hogy a három adott pont ne essen egy egyenesre. Ha ez teljesül, akkor a jól ismert módszerrel megszerkeszthetjük az O pontot és a háromszög köré írható kört. A három pontot jelöljük meg pozitív forgásirányban A′,B′,C′ módon. Szükséges, hogy az A′OB′,B′OC′,C′OA′ szögek 180∘-nál kisebbek legyenek, és semelyik kettő ne legyen egyenlő. Ha ez teljesül, akkor az ezeket 180∘-ra kiegészítő szögekkel megkapjuk a háromszög γ,α,β szögeit. Ezután a C′O szakaszt O körül 2α+γ−180∘ szöggel elforgatva kapjuk meg a C pontot. Hasonló eljárással az A és B csúcsokat is megszerkeszthetjük. Könnyű meggondolni, hogy az említett feltételek teljesülése esetén az így kapott ABC háromszög lesz a feladat egyértelmű megoldása.
Statisztika:
77 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Janzer Olivér, Machó Bónis, Mester Márton, Szabó 928 Attila. 3 pontot kapott: 45 versenyző. 2 pontot kapott: 18 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző.
A KöMaL 2011. szeptemberi matematika feladatai
|
|