A B. 4382. feladat (2011. október)

B. 4382. Jelöljön x egész számot. Mutassuk meg, hogy ha a

kifejezés értéke egész, akkor négyzetszám.

(3 pont)

A beküldési határidő 2011. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a kifejezés értéke egész, akkor $\displaystyle \sqrt{8x+1}$ is egész szám, vagyis a páratlan $\displaystyle 8x+1$ szám négyzetszám, meghozzá szükségképpen egy páratlan szám négyzete. Legyen tehát $\displaystyle 8x+1=(2m+1)^2$, ahol $\displaystyle m$ nemnegatív egész szám. Ekkor

$\displaystyle \frac{4x+1-\sqrt{8x+1}}2=\frac{(2m^2+2m+1)-(2m+1)}{2}=m^2$

valóban négyzetszám.

Statisztika:

231 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	167 versenyző.
2 pontot kapott:	46 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2011. októberi matematika feladatai