A B. 4383. feladat (2011. október)

B. 4383. Az ABCD konvex négyszög oldalaira teljesül, hogy AB>BC>CD>DA. Az ABD, illetve a BCD háromszögekbe írt kör a négyszög BD átlóját rendre az E és F pontban érinti. Hasonlóan az ABC, illetve az ACD háromszögbe írt kör az AC átlót rendre a H és G pontban érinti. Mutassuk meg, hogy EF=GH.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(3 pont)

A beküldési határidő 2011. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az érintőszakaszok egyenlősége alapján

$\displaystyle BE=\frac{BD+AB-DA}{2}\qquad\hbox{\rm és}\qquad BF=\frac{BD+BC-CD}{2},$

ahonnan

$\displaystyle BE-BF=\frac{(AB-BC)+(CD-DA)}{2}>0,$

tehát

$\displaystyle EF=BE-BF=\frac{(AB+CD)-(BC+DA)}{2}.$

Hasonló módon kapjuk, hogy

$\displaystyle GH=AH-AG=\frac{AC+AB-BC}{2}-\frac{AC+DA-CD}{2}=\frac{(AB+CD)-(BC+DA)}{2}.$

Statisztika:

98 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	79 versenyző.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2011. októberi matematika feladatai