 |
A B. 4385. feladat (2011. október) |
B. 4385. Oldjuk meg az {x}={x2}={x3} egyenletrendszert (ahol {y} az y szám törtrészét jelöli).
(4 pont)
A beküldési határidő 2011. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle x\) valós szám megoldása az egyenletrendszernek. Ekkor \(\displaystyle x^2-x\) és \(\displaystyle x^3-x^2=x(x^2-x)\) is egész számok. Ha \(\displaystyle x^2-x\ne 0\), akkor a két szám hányadosa, vagyis \(\displaystyle x\) racionális szám. Ez akkor is igaz, ha \(\displaystyle x^2-x=0\), hiszen ekkor \(\displaystyle x\) értéke 0 vagy 1. Legyen tehát \(\displaystyle x=a/b\), ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egymáshoz relatív prím egész számok. Ekkor \(\displaystyle x^2-x=\frac{a^2-ab}{b^2}\). Ha ez egész szám, akkor \(\displaystyle a^2-ab\), és így \(\displaystyle a^2\) is osztható \(\displaystyle b\)-vel. Mivel \(\displaystyle (a,b)=1\), ez csak \(\displaystyle b=\pm1\) esetén lehetséges, ami azt jelenti, hogy \(\displaystyle x\) egész szám. Minthogy pedig minden \(\displaystyle x\) egész számra \(\displaystyle \{x\} =\{x^2\} =\{x^3\}=0\), az egyenletrendszer megoldásai éppen az egész számok.
Statisztika:
97 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Barna István, Bősze Zsuzsanna, Bunth Gergely, Dolgos Tamás, Fonyó Viktória, Gyarmati Máté, Hajnal Péter János, Halász Dániel, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Máthé László, Mester Márton, Mihálykó András, Nagy Róbert, Sagmeister Ádám, Tossenberger Tamás, Trócsányi Péter, Viharos Andor. 3 pontot kapott: 34 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 37 versenyző.
A KöMaL 2011. októberi matematika feladatai