A B. 4391. feladat (2011. október)

B. 4391. Egy ötszög magasságán egy csúcs szemközti oldaltól vett távolságát értjük. Legyen P olyan ötszög, amelynek minden szöge 108^o és minden magassága különböző. Mutassuk meg, hogy P csúcsait valamelyik irányban megszámozhatjuk sorban úgy, hogy a megfelelő magasságokra

m₁>m₃>m₄>m₅>m₂

teljesüljön.

Javasolta: Kevei Péter, Vígh Viktor (Szeged)

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek az ötszög oldalai valamilyen körüljárás szerint $\displaystyle a,b,c,d,e$, az $\displaystyle x$ oldalhoz tartozó magasságot jelölje $\displaystyle m_x$. Ekkor a $\displaystyle \kappa=\sin72^\circ$, $\displaystyle \lambda=\sin36^\circ$ jelöléssel, ahol $\displaystyle \kappa>\lambda>0$, a magasságokra és az oldalakra felírhatjuk az alábbi összefüggéseket.

$\displaystyle m_a=\kappa b+\lambda c=\kappa e+\lambda d,\ m_b=\kappa c+\lambda d=\kappa a+\lambda e,\ m_c=\kappa d+\lambda e=\kappa b+\lambda a,$

$\displaystyle m_d=\kappa e+\lambda a=\kappa c+\lambda b,\ m_e=\kappa a+\lambda b=\kappa d+\lambda c.$

Az $\displaystyle a,b,c,d,e$ jelek ciklikus permutációi ezeket hasonlóképpen permutálják. Ezekből az egyenletekből könnyen leolvasható, hogy az ötszögnek nem lehet két egyforma hosszú oldala. Ezt különben geometriailag is egyszerű ellenőrizni: ha van két azonos hosszúságú oldal, akkor az ötszög tengelyesen szimmetrikus, lesznek benne tehát egyenlő magasságok is.

Tegyük fel tehát, hogy $\displaystyle e$ a legrövidebb oldal, és $\displaystyle a>d$. Ez utóbbi feltétel miatt az ötödik egyenletből $\displaystyle b<c$ következik, az első egyenletből pedig $\displaystyle e<b$ miatt $\displaystyle d>c$, vagyis $\displaystyle e<b<c<d<a$. Azt állítjuk, hogy ekkor $\displaystyle m_a<m_d<m_c<m_b<m_e$, vagyis ha az oldalak számozását a legrövidebb oldaltól ($\displaystyle e$) kezdjük, és annak hosszabbik szomszédjánál ($\displaystyle a$) folytatjuk, az megfelelő lesz.

Először is vegyük észre, hogy ha $\displaystyle s>t$, akkor $\displaystyle (\kappa-\lambda)(s-t)>0$ miatt $\displaystyle \kappa s+\lambda t>\kappa t+\lambda s$. Ezt a $\displaystyle d>c$, illetve $\displaystyle c>b$ esetre alkalmazva kapjuk az

$\displaystyle m_e=\kappa d+\lambda c>\kappa c+\lambda d=m_b,\quad m_d=\kappa c+\lambda b>\kappa b+\lambda c=m_a$

egyenlőtlenségeket. Mivel $\displaystyle d>c$ miatt $\displaystyle \kappa d>\kappa c$, valamint $\displaystyle b>e$ miatt $\displaystyle \kappa b+\lambda e>\kappa e+\lambda b$, látható, hogy $\displaystyle m_c>m_d$, hiszen

$\displaystyle 2m_c=(\kappa d+\lambda e)+(\kappa b+\lambda a)> (\kappa e+\lambda a)+(\kappa c+\lambda b)=2m_d.$

Hasonlóképpen nyerjük a hiányzó $\displaystyle m_b>m_c$ egyenlőtlenséget is:

$\displaystyle 2m_b=(\kappa c+\lambda d)+(\kappa a+\lambda e)= \kappa c+ (\kappa a+ \lambda d ) +\lambda e>$

$\displaystyle >\kappa b+ (\kappa d+ \lambda a ) +\lambda e= (\kappa d+\lambda e)+(\kappa b+\lambda a)=2m_c.$

Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Bingler Arnold, Fehér Zsombor, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kaprinai Balázs, Mester Márton, Schultz Vera Magdolna, Strenner Péter, Tardos Jakab, Varnyú József, Viharos Andor.
4 pontot kapott:	Jávorszky Natasa.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2011. októberi matematika feladatai