A B. 4402. feladat (2011. december)

B. 4402. Egységnyi oldalú sötét négyzetbe fehér kört írunk, ebbe egy újabb sötét négyzetet, folytatva ezt az ábra szerint a végtelenségig. Mekkora a sötét részek területének összege?

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A legnagyobb fehér kör sugara 1/2, ezért a legkülső sötét tartomány területe $\displaystyle 1-\pi/4$. A legnagyobb fehér körbe írt négyzet oldala $\displaystyle \sqrt{2}/2=1/\sqrt{2}$, ezért a legnagyobb fehér tartomány területe $\displaystyle \pi/4-1/2$, a két terület hányadosa pedig

$\displaystyle \frac{4-\pi}{\pi-2}.$

Hasonlósági megfontolásból ugyanezt a hányadost kapjuk, bármelyik sötét tartomány területét is osztjuk el a belülről közvetlenül mellette elhelyezkedő fehér tartományéval. Mivel ezek a tartományok így párokba állíthatók és együttesen az egész négyzetet lefedik a középpont kivételével, a sötét részek együttes $\displaystyle S$ és a világos részek együttes $\displaystyle F$ területére

$\displaystyle S+F=1,\quad \frac{S}{F}=\frac{4-\pi}{\pi-2}$

áll fenn, ahonnan

$\displaystyle S=\frac{S}{S+F}=\frac{1}{1+\frac{F}{S}} =\frac{1}{1+\frac{\pi-2}{4-\pi}}=\frac{4-\pi}{2}\approx 0,43$

adódik.

Statisztika:

193 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	151 versenyző.
2 pontot kapott:	23 versenyző.
1 pontot kapott:	18 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai