A B. 4402. feladat (2011. december)

B. 4402. Egységnyi oldalú sötét négyzetbe fehér kört írunk, ebbe egy újabb sötét négyzetet, folytatva ezt az ábra szerint a végtelenségig. Mekkora a sötét részek területének összege?

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A legnagyobb fehér kör sugara 1/2, ezért a legkülső sötét tartomány területe \(\displaystyle 1-\pi/4\). A legnagyobb fehér körbe írt négyzet oldala \(\displaystyle \sqrt{2}/2=1/\sqrt{2}\), ezért a legnagyobb fehér tartomány területe \(\displaystyle \pi/4-1/2\), a két terület hányadosa pedig

\(\displaystyle \frac{4-\pi}{\pi-2}.\)

Hasonlósági megfontolásból ugyanezt a hányadost kapjuk, bármelyik sötét tartomány területét is osztjuk el a belülről közvetlenül mellette elhelyezkedő fehér tartományéval. Mivel ezek a tartományok így párokba állíthatók és együttesen az egész négyzetet lefedik a középpont kivételével, a sötét részek együttes \(\displaystyle S\) és a világos részek együttes \(\displaystyle F\) területére

\(\displaystyle S+F=1,\quad \frac{S}{F}=\frac{4-\pi}{\pi-2}\)

áll fenn, ahonnan

\(\displaystyle S=\frac{S}{S+F}=\frac{1}{1+\frac{F}{S}} =\frac{1}{1+\frac{\pi-2}{4-\pi}}=\frac{4-\pi}{2}\approx 0,43\)

adódik.

Statisztika:

193 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	151 versenyző.
2 pontot kapott:	23 versenyző.
1 pontot kapott:	18 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai