A B. 4404. feladat (2011. december)

B. 4404. Az $A_1A_2 \ldots A_{2n}$ sokszög minden szöge egyenlő, oldalaira pedig teljesül, hogy $A_1A_2=A_3A_4=\ldots =A_{2n-1}A_{2n}$ és $A_2A_3=A_4A_5=\ldots = A_{2n}A_1$ . Mutassuk meg, hogy a sokszög köré kör írható.

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje az $\displaystyle A_iA_{i+1}$ oldal felező merőlegesét $\displaystyle f_i$, az $\displaystyle f_1$ és $\displaystyle f_2$ egyenesek metszéspontját $\displaystyle O$. Ha az $\displaystyle f_i$ egyenesre $\displaystyle 2\le i\le 2n-2$ tükrözzük az $\displaystyle A_{i-1}A_i$ oldalt, akkor az $\displaystyle A_{i+1}A_{i+2}$ oldalhoz jutunk, tehát $\displaystyle f_{i-1}$ tükörképe az $\displaystyle f_i$ egyenesre éppen $\displaystyle f_{i+1}$ lesz. Ebből az észrevételből $\displaystyle i$ szerinti teljes indukcióval adódik, hogy az $\displaystyle f_i$ és $\displaystyle f_{i+1}$ egyenesek minden $\displaystyle 1\le i\le 2n-2$ esetén az $\displaystyle O$ pontban metszik egymást, vagyis az $\displaystyle A_i, A_{i+1},A_{i+2}$ pontok az $\displaystyle O$ ponttól ugyanolyan távolságban helyezkednek el. Ebből pedig ismétcsak indukcióval belátható, hogy az összes csúcs rajta van az $\displaystyle O$ középpontú, $\displaystyle OA_1$ sugarú körön.

Statisztika:

115 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 69 versenyző.

2 pontot kapott: 24 versenyző.

1 pontot kapott: 13 versenyző.

0 pontot kapott: 8 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai

115 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	69 versenyző.
2 pontot kapott:	24 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?