Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4404. feladat (2011. december)

B. 4404. Az A_1A_2 \ldots A_{2n} sokszög minden szöge egyenlő, oldalaira pedig teljesül, hogy A_1A_2=A_3A_4=\ldots =A_{2n-1}A_{2n} és A_2A_3=A_4A_5=\ldots = A_{2n}A_1. Mutassuk meg, hogy a sokszög köré kör írható.

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelölje az AiAi+1 oldal felező merőlegesét fi, az f1 és f2 egyenesek metszéspontját O. Ha az fi egyenesre 2i2n2 tükrözzük az Ai1Ai oldalt, akkor az Ai+1Ai+2 oldalhoz jutunk, tehát fi1 tükörképe az fi egyenesre éppen fi+1 lesz. Ebből az észrevételből i szerinti teljes indukcióval adódik, hogy az fi és fi+1 egyenesek minden 1i2n2 esetén az O pontban metszik egymást, vagyis az Ai,Ai+1,Ai+2 pontok az O ponttól ugyanolyan távolságban helyezkednek el. Ebből pedig ismétcsak indukcióval belátható, hogy az összes csúcs rajta van az O középpontú, OA1 sugarú körön.


Statisztika:

115 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:69 versenyző.
2 pontot kapott:24 versenyző.
1 pontot kapott:13 versenyző.
0 pontot kapott:8 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai