![]() |
A B. 4404. feladat (2011. december) |
B. 4404. Az sokszög minden szöge egyenlő, oldalaira pedig teljesül, hogy
és
. Mutassuk meg, hogy a sokszög köré kör írható.
(3 pont)
A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelölje az AiAi+1 oldal felező merőlegesét fi, az f1 és f2 egyenesek metszéspontját O. Ha az fi egyenesre 2≤i≤2n−2 tükrözzük az Ai−1Ai oldalt, akkor az Ai+1Ai+2 oldalhoz jutunk, tehát fi−1 tükörképe az fi egyenesre éppen fi+1 lesz. Ebből az észrevételből i szerinti teljes indukcióval adódik, hogy az fi és fi+1 egyenesek minden 1≤i≤2n−2 esetén az O pontban metszik egymást, vagyis az Ai,Ai+1,Ai+2 pontok az O ponttól ugyanolyan távolságban helyezkednek el. Ebből pedig ismétcsak indukcióval belátható, hogy az összes csúcs rajta van az O középpontú, OA1 sugarú körön.
Statisztika:
115 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 69 versenyző. 2 pontot kapott: 24 versenyző. 1 pontot kapott: 13 versenyző. 0 pontot kapott: 8 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai
|