A B. 4406. feladat (2011. december)

B. 4406. Adottak az egymásra merőleges e₁ és e₂ egyenesek, valamint egyik szögfelezőjükön a metszéspontjuktól különböző P pont. A P-n átmenő f és g egyenesek az e_i egyenest az F_i, illetve G_i pontokban metszik. Határozzuk meg az F₁G₂ és F₂G₁ egyenesek metszéspontjának mértani helyét.

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyünk fel úgy egy derékszögű koordinátarendszert, hogy annak $\displaystyle x,y$ tengelyei az $\displaystyle e_1,e_2$ egyenesek legyenek és a $\displaystyle P$ pont mindkét koordinátája 1 legyen. Ha az $\displaystyle F_2$ pont koordinátái $\displaystyle (0;a)$, ahol $\displaystyle a\ne 1$, akkor az $\displaystyle f$ egyenes egyenlete $\displaystyle y=(1-a)x+a$, vagyis az $\displaystyle F_1$ pont koordinátái $\displaystyle (\frac{a}{a-1};0)$. Hasonlóképpen legyenek a $\displaystyle G_2$ és $\displaystyle G_1$ pont koordinátái $\displaystyle (0;b)$, illetve $\displaystyle (\frac{b}{b-1};0)$, ahol $\displaystyle b\ne 1$ és $\displaystyle b\ne a$.

Ha $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ valamelyike 0, akkor az $\displaystyle F_1G_2$ és az $\displaystyle F_2G_1$ egyenesek metszéspontja az origó lesz; egyébként a két egyenes egyenlete

$\displaystyle y=\frac{b(1-a)}{a}x+b,\quad \hbox{illetve}\quad y=\frac{a(1-b)}{b}x+a.$

A két egyenes pontosan akkor lesz párhuzamos, ha $\displaystyle a+b=ab$, ellenkező esetben metszéspontjuk koordinátái

$\displaystyle x=\frac{ab}{ab-(a+b)}\quad \hbox{és} \quad y=\frac{-ab}{ab-(a+b)}=-x,$

ami azt jelenti, hogy a metszéspont rajta van az $\displaystyle e_1$ és $\displaystyle e_2$ egyenesek másik szögfelezőjén. Mivel az origó a mértani helyhez tartozik, egyébként pedig $\displaystyle \frac{1}{x}=1-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$ még az $\displaystyle a,b\ne 0,1$, $\displaystyle a\ne b$ feltételek mellett is tetszőleges értéket felvehet, a keresett mértani hely a teljes szögfelező lesz.

Statisztika:

38 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bősze Zsuzsanna, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Győrfi 946 Mónika, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Maga Balázs, Mester Márton, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szilágyi Krisztina, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Zilahi Tamás.
3 pontot kapott:	Barna István, Czövek Márton, Gyarmati Máté, Machó Bónis, Nagy Anna Noémi, Papp Roland, Petrényi Márk, Schultz Vera Magdolna, Szabó 262 Lóránt, Weisz Ambrus, Wiandt Zsófia, Zsakó András.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai