A B. 4406. feladat (2011. december)

B. 4406. Adottak az egymásra merőleges e₁ és e₂ egyenesek, valamint egyik szögfelezőjükön a metszéspontjuktól különböző P pont. A P-n átmenő f és g egyenesek az e_i egyenest az F_i, illetve G_i pontokban metszik. Határozzuk meg az F₁G₂ és F₂G₁ egyenesek metszéspontjának mértani helyét.

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyünk fel úgy egy derékszögű koordinátarendszert, hogy annak \(\displaystyle x,y\) tengelyei az \(\displaystyle e_1,e_2\) egyenesek legyenek és a \(\displaystyle P\) pont mindkét koordinátája 1 legyen. Ha az \(\displaystyle F_2\) pont koordinátái \(\displaystyle (0;a)\), ahol \(\displaystyle a\ne 1\), akkor az \(\displaystyle f\) egyenes egyenlete \(\displaystyle y=(1-a)x+a\), vagyis az \(\displaystyle F_1\) pont koordinátái \(\displaystyle (\frac{a}{a-1};0)\). Hasonlóképpen legyenek a \(\displaystyle G_2\) és \(\displaystyle G_1\) pont koordinátái \(\displaystyle (0;b)\), illetve \(\displaystyle (\frac{b}{b-1};0)\), ahol \(\displaystyle b\ne 1\) és \(\displaystyle b\ne a\).

Ha \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) valamelyike 0, akkor az \(\displaystyle F_1G_2\) és az \(\displaystyle F_2G_1\) egyenesek metszéspontja az origó lesz; egyébként a két egyenes egyenlete

\(\displaystyle y=\frac{b(1-a)}{a}x+b,\quad \hbox{illetve}\quad y=\frac{a(1-b)}{b}x+a.\)

A két egyenes pontosan akkor lesz párhuzamos, ha \(\displaystyle a+b=ab\), ellenkező esetben metszéspontjuk koordinátái

\(\displaystyle x=\frac{ab}{ab-(a+b)}\quad \hbox{és} \quad y=\frac{-ab}{ab-(a+b)}=-x,\)

ami azt jelenti, hogy a metszéspont rajta van az \(\displaystyle e_1\) és \(\displaystyle e_2\) egyenesek másik szögfelezőjén. Mivel az origó a mértani helyhez tartozik, egyébként pedig \(\displaystyle \frac{1}{x}=1-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\) még az \(\displaystyle a,b\ne 0,1\), \(\displaystyle a\ne b\) feltételek mellett is tetszőleges értéket felvehet, a keresett mértani hely a teljes szögfelező lesz.

Statisztika:

38 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bősze Zsuzsanna, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Győrfi 946 Mónika, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Maga Balázs, Mester Márton, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szilágyi Krisztina, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Zilahi Tamás.
3 pontot kapott:	Barna István, Czövek Márton, Gyarmati Máté, Machó Bónis, Nagy Anna Noémi, Papp Roland, Petrényi Márk, Schultz Vera Magdolna, Szabó 262 Lóránt, Weisz Ambrus, Wiandt Zsófia, Zsakó András.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai