A B. 4407. feladat (2011. december)

B. 4407. Legyen k egy pozitív egész szám. Hány nemnegatív egész megoldása van az

egyenletnek?

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha $\displaystyle x\ge 0$, akkor $\displaystyle [x/k]$ is nemnegatív egész szám. Tegyük fel tehát, hogy az $\displaystyle x$ és $\displaystyle N$ nemnegatív egész számokra

$\displaystyle \left[\frac xk\right] = \left[\frac x{k+1}\right]=N.$

Ez pontosan azt jelenti, hogy

$\displaystyle N\le \frac{x}{k+1}\le\frac{x}{k}<N+1,$

vagyis hogy $\displaystyle Nk+N\le x< Nk+k$. Ha $\displaystyle N\ge k$, akkor nincsen ilyen $\displaystyle x$ egész szám, a $\displaystyle 0\le N<k$ esetben pedig pontosan $\displaystyle k-N$ ilyen $\displaystyle x$ egész szám van, méghozzá nem is negatív. Ezért az egyenlet nemnegatív egész megoldásainak száma

$\displaystyle k+(k-1)+\ldots+2+1=\frac{k(k+1)}{2}.$

Statisztika:

104 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	69 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai