 |
A B. 4407. feladat (2011. december) |
B. 4407. Legyen k egy pozitív egész szám. Hány nemnegatív egész megoldása van az
egyenletnek?
(4 pont)
A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha \(\displaystyle x\ge 0\), akkor \(\displaystyle [x/k]\) is nemnegatív egész szám. Tegyük fel tehát, hogy az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle N\) nemnegatív egész számokra
\(\displaystyle \left[\frac xk\right] = \left[\frac x{k+1}\right]=N.\)
Ez pontosan azt jelenti, hogy
\(\displaystyle N\le \frac{x}{k+1}\le\frac{x}{k}<N+1,\)
vagyis hogy \(\displaystyle Nk+N\le x< Nk+k\). Ha \(\displaystyle N\ge k\), akkor nincsen ilyen \(\displaystyle x\) egész szám, a \(\displaystyle 0\le N<k\) esetben pedig pontosan \(\displaystyle k-N\) ilyen \(\displaystyle x\) egész szám van, méghozzá nem is negatív. Ezért az egyenlet nemnegatív egész megoldásainak száma
\(\displaystyle k+(k-1)+\ldots+2+1=\frac{k(k+1)}{2}.\)
Statisztika:
104 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 69 versenyző. 3 pontot kapott: 18 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai