A B. 4410. feladat (2011. december)

B. 4410. A matematika szakkörön a tanár gondolt egy legfeljebb n-ed fokú polinomfüggvényre. A diákok tetszőleges valós helyen megkérdezhetik a függvény helyettesítési értékét. Hány helyettesítési érték ismeretében dönthető el minden esetben, hogy a függvény páros-e?

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle n\) értéke páratlan, akkor \(\displaystyle n+1\), ha \(\displaystyle n\) értéke páros, akkor \(\displaystyle n\) a válasz. Először megmutatjuk, hogy ennyi darab alkalmas helyettesítési érték ismeretében a kérdés biztosan eldönthető. Ehhez felhasználjuk azt, hogy ha két legfeljebb \(\displaystyle n\)-edfokú polinom \(\displaystyle n+1\) különböző helyen ugyanazt az értéket veszi fel, akkor a két polinom egyenlő, ekkor ugyanis különbségüknek, ami vagy az azonosan nulla, vagy egy legfeljebb \(\displaystyle n\)-ed fokú polinom, van \(\displaystyle n+1\) különböző gyöke, ami pedig a második lehetőséget kizárja.

Legyen először \(\displaystyle n=2k-1\) páratlan szám. Kérdezzük meg az \(\displaystyle f(x)\) függvény helyettesítési értékét a \(\displaystyle \pm 1,\pm 2,\ldots,\pm k\) helyeken. Ha valamely \(\displaystyle i\)-re \(\displaystyle f(-i)\ne f(i)\), akkor a függvény biztosan páratlan. Ha viszont mindegyik esetben \(\displaystyle f(-i)=f(i)\) fennáll, akkor a \(\displaystyle g(x)=f(-x)\), ugyancsak legfeljebb \(\displaystyle n\)-edfokú polinomfüggvényre a \(\displaystyle \pm 1,\pm 2,\ldots,\pm k\) helyeken teljesül \(\displaystyle g(x)=f(x)\). Mivel ez \(\displaystyle 2k=n+1\) darab különböző hely, a két polinom egyenlő, tehát minden \(\displaystyle x\) valós számra teljesül \(\displaystyle f(-x)=g(x)=f(x)\), ami éppen azt jelenti, hogy az \(\displaystyle f\) függvény páros. Ha \(\displaystyle n=2k\), akkor az érvelésen csak annyit kell módosítanunk, hogy mivel \(\displaystyle g(0)=f(0)\) automatikusan teljesül, a második esetben most is találunk \(\displaystyle 2k+1=n+1\) különböző helyet, ahol a két polinomfüggvény megegyező értéket vesz fel.

Most megmutatjuk, hogy esetenként szükség is van ennyi helyettesítési érték ismeretére. Az \(\displaystyle n=0\) esetben nincs mit bizonyítani. Egyébként tegyük föl, hogy a tanár történetesen a konstans 1 polinomra gondolt (persze nem tudjuk, hogy ez így történt). Legyen \(\displaystyle m=n\), ha \(\displaystyle n\) páratlan, \(\displaystyle m=n-1\), ha \(\displaystyle n\) páros. Pusztán az \(\displaystyle f(a_1),f(a_2),\ldots,f(a_m)\) értékek ismeretében nem tudjuk eldönteni, hogy a tanár vajon az \(\displaystyle f(x)=1\) függvényre gondolt, vagy esetleg a \(\displaystyle g(x)=1+(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_m)= x^m+\ldots\) függvényre, hiszen \(\displaystyle g(a_i)=f(a_i)=1\) teljesül minden \(\displaystyle i\)-re. Ez utóbbi azonban nem lehet páros függvény, hiszen \(\displaystyle g(x)-g(-x)=2x^m+\ldots\) biztosan nem azonosan 0.

Statisztika:

29 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Olivér, Kúsz Ágnes, Makk László, Mester Márton, Mihálykó András, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Papp Roland, Somogyvári Kristóf, Strenner Péter, Tardos Jakab, Varnyú József, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás, Zsakó András.
4 pontot kapott:	Gyarmati Máté, Maga Balázs, Schultz Vera Magdolna.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai