A B. 4411. feladat (2011. december)

B. 4411. Két egyenes körkúp tengelye párhuzamos, a nyílásszögük különböző. Bizonyítsuk be, hogy közös pontjaik egy gömbön vannak.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyük fel úgy a derékszögű $\displaystyle (x,y,z)$-koordinátarendszert, hogy az első kúp csúcsa az origóba essen, tengelye pedig egybeessen a $\displaystyle z$-tengellyel. Tegyük fel, hogy ennek a kúpnak az alkotói a $\displaystyle z$-tengellyel $\displaystyle \alpha$ szöget zárnak be. Ekkor a kúpnak a $\displaystyle z=t$ síkkal vett metszete egy olyan körvonal, melynek sugara $\displaystyle (\tg\alpha)t$, a $\displaystyle t=0$ esetben ez egy ponttá fajul el. A kúp egyenlete tehát $\displaystyle x^2+y^2=Az^2$, ahol $\displaystyle A=\tg^2\alpha\ne 0$. Ha a másik kúp csúcsának koordinátái $\displaystyle (a,b,c)$, alkotóinak a tengellyel bezárt szöge pedig $\displaystyle \beta$, akkor ennek a kúpnak az egyenlete

$\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=B(z-c)^2,$

ahol $\displaystyle B=\tg^2\beta\ne 0$, és az $\displaystyle \alpha\ne \beta$ feltétel miatt $\displaystyle A\ne B$.

Szorozzuk be az $\displaystyle x^2+y^2-Az^2$ egyenletet egy $\displaystyle \lambda$, az $\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2-B(z-c)^2=0$ egyenletet pedig egy $\displaystyle \mu$ számmal úgy, hogy azokat összeadva $\displaystyle x^2,y^2$ és $\displaystyle z^2$ együtthatója egyaránt 1 legyen. Ehhez a $\displaystyle \lambda+\mu=-A\lambda-B\mu=1$ feltételeket kell kielégíteni, ami a

$\displaystyle \lambda=\frac{1+B}{B-A},\quad \mu=\frac{-1-A}{B-A}$

választással valósítható meg. A két körkúp metszéspontjainak koordinátái tehát kielégítik az így kapott

$\displaystyle (x^2-2\mu ax+\mu a^2)+(y^2-2\mu b y+\mu b^2)+(z^2+2\mu Bcz-\mu Bc^2)=0$

egyenletet. A metszéspontok tehát rajta vannak az

$\displaystyle (x-\mu a)^2+(y-\mu b)^2+(z+\mu Bc)^2= (\mu^2-\mu)a^2+(\mu^2-\mu)b^2+(\mu^2B^2+\mu B)c^2$

egyenletű, esetleg elfajuló gömbön. Nem nehéz ellenőrizni, hogy $\displaystyle \mu^2-\mu$ és $\displaystyle \mu^2B^2+\mu B$ is pozitív, tehát a gömb soha nem üres halmaz és egy ponttá is csak az $\displaystyle a=b=c=0$ esetben (vagyis ha a két kúp csúcspontja egybeesik) fajulhat el, de ez az állítás szempontjából lényegtelen, hiszen az üres halmaz és akármely egypontú halmaz is tekinthető egy alkalmas gömb részhalmazának.

Statisztika:

12 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Havasi 0 Márton, Janzer Olivér, Kiss 902 Melinda Flóra, Mester Márton, Nagy Róbert, Strenner Péter.
4 pontot kapott:	Horváth János, Machó Bónis.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai