A B. 4417. feladat (2012. január)

B. 4417. Oldjuk meg a

egyenletet.

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A \(\displaystyle \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) és \(\displaystyle \cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) azonosságok alapján

\(\displaystyle 2\sin^2(x+{45}^\circ)=1-\cos(2x+{90}^\circ)=1+\sin2x=1+2\sin x\cos x.\)

Ezért 2-vel való beszorzás és átrendezés után az eredetivel ekvivalens

\(\displaystyle 2\sin x\cos x-2\sin x-\cos x+1=0\)

egyenletet kapjuk. A bal oldali kifejezést szorzattá alakítva ez

\(\displaystyle (2\sin x-1)(\cos x-1)=0\)

alakba írható, ami pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle \sin x=1/2\) vagy \(\displaystyle \cos x =1\). Az egyenlet megoldásai tehát az \(\displaystyle x=\pi/6+2k\pi\), az \(\displaystyle x=5\pi/6+2k\pi\) és az \(\displaystyle x=2k\pi\) számok, ahol \(\displaystyle k\) tetszőleges egész szám.

Statisztika:

118 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	76 versenyző.
2 pontot kapott:	34 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2012. januári matematika feladatai