A B. 4418. feladat (2012. január)

B. 4418. Az ABC háromszög oldalaira kifelé az ABD, BCE és CAF szabályos háromszögeket rajzoltuk. Legyenek a DE, EF és FD szakaszok felezőpontjai rendre G, H és I. Igazoljuk, hogy az AHB, BIC és CGA szögek összege 180^o.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Irányított szögekkel dolgozva, felírhatjuk, hogy

\(\displaystyle AHB\sphericalangle=ACB\sphericalangle+HAC\sphericalangle-HBC\sphericalangle,\)

\(\displaystyle BIC\sphericalangle=BAC\sphericalangle+IBA\sphericalangle-ICA\sphericalangle,\)

\(\displaystyle CGA\sphericalangle=CBA\sphericalangle+GCB\sphericalangle-GAB\sphericalangle.\)

A három egyenlőséget összeadva, a szokásos jelölésekkel

\(\displaystyle AHB\sphericalangle+BIC\sphericalangle+CGA\sphericalangle=(\alpha+\beta+\gamma)+HAC\sphericalangle+CBH\sphericalangle+\)

\(\displaystyle +IBA\sphericalangle+ACI\sphericalangle+GCB\sphericalangle+BAG\sphericalangle,\)

tehát elég azt igazolnunk, hogy

\(\displaystyle HAC\sphericalangle+CBH\sphericalangle+IBA\sphericalangle+ACI\sphericalangle+GCB\sphericalangle+BAG\sphericalangle=0.\)

Megtartva a szeptemberi B. 4377. feladat megoldásának jelöléseit, a \(\displaystyle BAB'\) háromszöget az \(\displaystyle A\) pont körüli \(\displaystyle 60^\circ\)-os \(\displaystyle \Phi\) forgatás a \(\displaystyle C'AC\) háromszögbe viszi. Ezért mivel \(\displaystyle G\) a \(\displaystyle BB'\), \(\displaystyle H\) pedig a \(\displaystyle CC'\) szakasz felezőpontja,

\(\displaystyle BAG\sphericalangle+HAC\sphericalangle=BAG\sphericalangle+GAB'\sphericalangle=BAB'\sphericalangle=BAC\sphericalangle-B'AC\sphericalangle=\alpha-60^\circ.\)

Ugyanígy \(\displaystyle CBH\sphericalangle+IBA\sphericalangle=\beta-60^\circ\) és \(\displaystyle ACI\sphericalangle+GCB\sphericalangle =\gamma-60^\circ\). E három egyenlőséget összeadva éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.

Statisztika:

23 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Dinev Georgi, Fehér Zsombor, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Kiss 902 Melinda Flóra, Maga Balázs, Medek Ákos, Mester Márton, Nagy Anna Noémi, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Strenner Péter, Szabó 777 Bence, Szabó 789 Barnabás, Tossenberger Tamás, Zsiros Ádám.
4 pontot kapott:	Szabó 928 Attila.
2 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2012. januári matematika feladatai