 |
A B. 4421. feladat (2012. január) |
B. 4421. Legyen t rögzített egész szám. Mutassuk meg, hogy minden p páratlan prímszámhoz található olyan n pozitív egész, amelyre
(3-7t)2n+(18t-9)3n+(6-10t)4n
osztható p-vel.
Javasolta: Kalina Kende (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A \(\displaystyle p=3\) esetben nyilván \(\displaystyle n=1\) megfelelő lesz. Ha \(\displaystyle p\ge 5\) akkor a kis Fermat-tétel szerint \(\displaystyle 2^{p-1}, 3^{p-1}\) és \(\displaystyle 4^{p-1}\) is 1 maradékot ad \(\displaystyle p\)-vel osztva, vagyis
\(\displaystyle 2^{p-1}=Ap+1, \quad 3^{p-1}=Bp+1, \quad 4^{p-1}=Cp+1\)
írható alkalmas \(\displaystyle A,B,C\) egész számokkal. Ekkor \(\displaystyle n=p-2\) esetén
\(\displaystyle (3-7t)2^n+(18t-9)3^n+(6-10t)4^n= \frac{3-7t}{2}2^{p-1}+\frac{18t-9}{3}3^{p-1}+\frac{6-10t}{4}4^{p-1}=\)
\(\displaystyle =\frac{3-7t}{2}Ap+\frac{18t-9}{3}Bp+\frac{6-10t}{4}Cp= \frac{\left(6A(3-7t)+4B(18t-9)+3C(6-10t)\right)p}{12}.\)
Ez az egész szám nyilván osztható \(\displaystyle p\)-vel.
Statisztika:
15 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Barna István, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Kiss 902 Melinda Flóra, Maga Balázs, Mester Márton, Nagy Róbert, Schultz Vera Magdolna, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2012. januári matematika feladatai