A B. 4422. feladat (2012. február)

B. 4422. Egy asztalon 99 pálca van, a hosszuk 1,2,3,...,99 egység. Andrea és Béla a következő játékot játsszák: felváltva elvesznek egy-egy általuk választott pálcát; a játékot Andrea kezdi. A játéknak akkor van vége, amikor pontosan három pálca marad az asztalon. Ha a megmaradó három pálcából összeállítható egy háromszög, akkor Andrea nyer, különben Béla. Kinek van nyerő stratégiája?

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A játéknak a 96. lépés után lesz vége, vagyis azután, hogy mindketten elvettek 48 darab pálcát. Osszuk képzeletben a pálcákat két kupacba. A `rövid' kupacban legyenek az \(\displaystyle 1,2,3,\ldots,50\) egység hosszú pálcák, a `hosszú' kupacban pedig a maradék 49 pálca. Béla a következő stratégiával tudja megnyerni a játékot. Ha valamelyik lépésben Andrea a rövid kupacból vesz el egy pálcát, akkor az ezt követő lépésében Béla elveszi a hosszú kupacból az abban éppen található pálcák közül a legrövidebbet. Ha pedig valamelyik lépésben Andrea a hosszú kupacból vesz el egy pálcát, akkor az ezt követő lépésében Béla elveszi a rövid kupacból az abban éppen található pálcák közül a leghosszabbat. Így Andrea minden lépése után Béla tud még lépni a stratégiának megfelelően. A játék végén a rövid kupacban 2 darab, míg a hosszúban 1 darab pálca marad; ezek hossza legyen \(\displaystyle a<b\le 50<c\). A stratégiának köszönhetően az elvett pálcák hossza között található legalább 48 olyan egymást követő egész szám, melyek közül mindegyik nagyobb \(\displaystyle b\)-nél, de kisebb \(\displaystyle c\)-nél. Ezért \(\displaystyle c-b\ge 49\ge a\), vagyis \(\displaystyle c\ge a+b\), tehát a megmaradó pálcákból nem állítható össze háromszög.

Statisztika:

81 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	54 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	19 versenyző.

A KöMaL 2012. februári matematika feladatai