A B. 4426. feladat (2012. február) |
B. 4426. Az ABCD tetraéder szemközti élei merőlegesek egymásra, BCD lapja pedig hegyesszögű háromszög. A tetraéder A csúcsból induló magasságának talppontja T. Adjuk meg a tetraéder felszínén haladó legrövidebb AT töröttvonalat.
(4 pont)
A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen {X,Y,Z}={B,C,D}. Mivel AX merőleges YZ-re, az AX egyenest tartalmazó, BCD síkra merőleges sík az YZ egyenest abban az X′ pontban metszi,
amelyre X′ az YZA és az YZX háromszögben egyaránt az YZ-re merőleges magasság talppontja. Minthogy ez utóbbi háromszög hegyesszögű, az X′ pont az YZ szakasz belső pontja, és az is világos, hogy T éppen a BCD háromszög magasságpontja. Azon AT töröttvonalak közül pedig, melyek az YZ szakaszt metszik, éppen az AX′T töröttvonal lesz a legrövidebb. Azt kell tehát eldöntenünk, hogy az AB′T,AC′T,AD′T töröttvonalak közül melyik a legrövidebb. Mivel a Pithagorasz-tétel szerint az AX′T töröttvonal hossza
AX′+X′T=√AT2+X′T2+X′T,
a B′T,C′T,D′T szakaszok közül kell a legrövidebbet kiválasztanunk. Ehhez tekintsük a TB′C és TD′C derékszögű háromszögeket. Mivel ezek TC átfogója közös, a TB′,TD′ befogók közül az rövidebb, amely mellett nagyobb szög van. ám B′TC∢=CDB∢ és D′TC∢=CBD∢, és a BCD háromszögben a hosszabb oldallal szemben van a nagyobb szög, vagyis B′T≤D′T pontosan akkor teljesül, ha BC≥DC. A B′T,D′T szakaszokat hasonlóképpen C′T-vel is összehasonlítva láthatjuk, hogy a T pont a BCD háromszög oldalai közül a legrövidebbhez van a legközelebb. A legrövidebb AT töröttvonalat tehát úgy kapjuk, hogy A-ból merőlegest bocsájtunk a BCD háromszög legrövidebb oldalára, majd az így kapott pontot T-vel összekötjük. Ennek megfelelően 1, 2 vagy 3 megoldást kapunk aszerint, hogy a BCD háromszög általános, általános egyenlő szárú vagy pedig szabályos.
Statisztika:
43 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Ágoston Péter, Babik Bálint, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Demeter Dániel, Englert Franciska, Forrás Bence, Frank György, Janzer Olivér, Jenei Adrienn, Kabos Eszter, Kecskés Boglárka, Maga Balázs, Mester Márton, Nagy Anna Noémi, Ódor Gergely, Papp Roland, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Strenner Péter, Szabó 262 Lóránt, Szabó 789 Barnabás, Tardos Jakab, Thamó Emese, Weimann Richárd, Zilahi Tamás. 3 pontot kapott: Badacsonyi István András, Dinev Georgi, Győrfi 946 Mónika, Kacz Dániel, Medek Ákos. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2012. februári matematika feladatai