 |
A B. 4427. feladat (2012. február) |
B. 4427. Mutassuk meg, hogy ha 
, 
és 
egy háromszög szögei, akkor
(sin +sin +sin )2>9sin sin sin .
(3 pont)
A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Mivel \(\displaystyle \sin\alpha, \sin\beta, \sin\gamma\) 1-nél nem nagyobb pozitív számok, és nem lehet mindegyikük 1-gyel egyenlő,
\(\displaystyle 0<\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma<1.\)
A számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség szerint
\(\displaystyle \frac{\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma}{3}\ge \root{3}\of{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma},\)
ahonnan
\(\displaystyle \frac{(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma)^2}{9}\ge (\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma)^{2/3}> \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma.\)
Statisztika:
110 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 73 versenyző. 2 pontot kapott: 26 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2012. februári matematika feladatai