A B. 4427. feladat (2012. február)

B. 4427. Mutassuk meg, hogy ha , és egy háromszög szögei, akkor

(sin +sin +sin )²>9sin sin sin .

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel $\displaystyle \sin\alpha, \sin\beta, \sin\gamma$ 1-nél nem nagyobb pozitív számok, és nem lehet mindegyikük 1-gyel egyenlő,

$\displaystyle 0<\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma<1.$

A számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség szerint

$\displaystyle \frac{\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma}{3}\ge \root{3}\of{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma},$

ahonnan

$\displaystyle \frac{(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma)^2}{9}\ge (\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma)^{2/3}> \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma.$

Statisztika:

110 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	73 versenyző.
2 pontot kapott:	26 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2012. februári matematika feladatai