A B. 4428. feladat (2012. február)

B. 4428. Egy egységsugarú körbe háromszöget írtunk. Mekkora lehet két hozzáírt köre középpontjának távolsága?

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A háromszög csúcsait jelölje $\displaystyle A,B,C$, a hozzáírt körök középpontjait értelemszerűen $\displaystyle O_a,O_b,O_c$. Mivel az $\displaystyle O_cC$ és $\displaystyle O_aO_b$ egyenesek közül az első a $\displaystyle C$ csúcshoz tartozó belső, a második pedig a külső szögfelező, ezek merőlegesek egymásra. Így $\displaystyle ABC$ az $\displaystyle O_aO_bO_c$ háromszög talpponti háromszöge, vagyis az első háromszög köré írható kör a második háromszög Feuerbach-köre. Az $\displaystyle O_aO_bO_c$ kör sugara tehát $\displaystyle R=2$.

Mivel $\displaystyle ABO_c\sphericalangle=90^\circ-\beta/2$ és $\displaystyle BAO_c\sphericalangle=90^\circ-\alpha/2$, az $\displaystyle O_aO_cO_b$ szög nagysága $\displaystyle 90^\circ-\gamma/2$. Ezért a szinusz-tétel szerint

$\displaystyle O_aO_b=2R\sin\left(90^\circ-\frac{\gamma}{2}\right)=4\cos\frac{\gamma}{2},$

vagyis $\displaystyle 0<O_aO_b<4$, és a szakasz hossza tetszőleges 0 és 4 közötti értéket felvehet.

Statisztika:

50 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Barna István, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Gyarmati Máté, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Katona Dániel, Kovács-Deák Máté, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Makk László, Mester Márton, Ódor Gergely, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Somogyvári Kristóf, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás.
3 pontot kapott:	Demeter Dániel, Fatér Alexa, Fonyó Viktória, Géczi Péter Attila, Kiss 902 Melinda Flóra, Medek Ákos, Nagy-György Pál, Öreg Botond, Sticza Gergő, Tulassay Zsolt, Varga Zoltán Attila, Zahemszky Péter.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2012. februári matematika feladatai