 |
A B. 4433. feladat (2012. március) |
B. 4433. Oldjuk meg az (1+x)8+(1+x2)4=82x4 egyenletet.
(3 pont)
A beküldési határidő 2012. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A zárójeleket kibontva, átrendezés után a
\(\displaystyle 2x^8+8x^7+32x^6+56x^5-6x^4+56x^3+32x^2+8x+2=0\)
egyenlethez jutunk. Mivel \(\displaystyle x=0\) nem megoldása az egyenletnek, az ekvivalens az
\(\displaystyle \left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)+ 4\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)+ 16\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+ 28\left(x+\frac{1}{x}\right)-3=0\)
egyenlettel. A \(\displaystyle y=x+1/x\) helyettesítéssel ezt az
\(\displaystyle y^4+4y^3+12y^2+16y-33=0\)
alakra hozhatjuk. Szorzattá alakítva az egyenlet az
\(\displaystyle (y-1)(y+3)(y^2+2y+11)=0\)
alakot ölti. Itt \(\displaystyle y^2+2y+11=(y+1)^2+10>0\), tehát innen \(\displaystyle y=1\) vagy \(\displaystyle y=-3\) adódik. Mivel az \(\displaystyle x+1/x=1\) egyenletnek nincsen megoldása a valós számok körében, az eredeti egyenlet ekvivalens az \(\displaystyle x+1/x=-3\) egyenlettel, melynek megoldása
\(\displaystyle x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}.\)
Statisztika:
103 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 80 versenyző. 2 pontot kapott: 12 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 10 versenyző.
A KöMaL 2012. márciusi matematika feladatai