A B. 4434. feladat (2012. március)

B. 4434. Bizonyítsuk be, hogy minden 10-zel nem osztható természetes számhoz található olyan természetes szám, hogy szorzatuk 10-es számrendszerben felírva palindrom szám legyen.

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a szóban forgó számot \(\displaystyle n\); ekkor \(\displaystyle n=uv\), ahol \(\displaystyle u,v\) pozitív egészek és \(\displaystyle u=2^k\) vagy \(\displaystyle u=5^k\), \(\displaystyle v\) pedig 10-hez relatív prím szám. Jelölje \(\displaystyle \overline{u}\) az \(\displaystyle u\) számjegyeinek fordított sorrendben való felírásával kapott számot. Ekkor \(\displaystyle u,\overline{u}<10^k\), és mivel \(\displaystyle u\) nem 0-ra végződik, az \(\displaystyle U=10^k\overline{u}+u<10^{2k}\) szám \(\displaystyle u\)-val osztható palindrom szám.

Minthogy 10 relatív prím \(\displaystyle v\)-hez, az Euler-Fermat tétel szerint a \(\displaystyle 10^{\varphi(v)}\) szám \(\displaystyle v\)-vel osztva 1 maradékot ad, vagyis \(\displaystyle 10^{\varphi(v)}\equiv 1\pmod {v}\). Itt a kitevőbe \(\displaystyle \varphi(v)\) helyett annak tetszőleges többszörösét is beírhatjuk.

Legyen \(\displaystyle m\ge 2k\) tetszőleges \(\displaystyle \varphi(v)\)-vel osztható szám. Ekkor az előzőek miatt

\(\displaystyle V=1+10^m+10^{2m}+\ldots+10^{(v-1)m}\equiv v\cdot 1\equiv 0\pmod{v},\)

vagyis a \(\displaystyle V\) szám osztható \(\displaystyle v\)-vel. Ennélfogva az \(\displaystyle N=UV\) szám, amely nyilván palindrom szám, osztható \(\displaystyle uv\)-vel, vagyis \(\displaystyle n\)-nel.

Statisztika:

50 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ács Botond, Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Bingler Arnold, Bíró János, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Géczi Péter Attila, Göde Ábel, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Kaprinai Balázs, Khayounti Sára, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács Lilla Veronika, Kovács-Deák Máté, Maga Balázs, Matolcsi István, Mester Márton, Mócsy Miklós, Nagy Anna Noémi, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Ódor Gergely, Papp Roland, Pohl Péter Mátyás, Prágai Benedek, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
3 pontot kapott:	Homonnay Bálint, Kacz Dániel, Nagy Bence Kristóf, Sagmeister Ádám.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2012. márciusi matematika feladatai